Derivati pjesor

Në matematikë, derivati pjesor i një funksion me shumë ndryshore është derivati i atij funksioni në lidhje me njërën prej ndryshoreve, kur të tjerat mbahen konstante. Derivatet pjesore gjejnë përdorim, veçanërisht në analizën vektoriale dhe gjeometrinë diferenciale.

Derivati pjesor i një funksioni f në lidhje me ndryshoren x shënohet në mënyra të ndryshme duke përdorur simbolikën e mëposhtme

${\displaystyle f_{x}^{\prime },\ f_{x},\ \partial _{x}f,{\text{ or }}{\frac {\partial f}{\partial x}}.}$

Simboli i derivatit pjesor ∂ u paraqit nga Adrien-Mari Lazhandër dhe u pranua si standard pas riparaqitjes së tij nga Kal Gustav Jakob Jakobi ^[1]

Paraqitja e konceptit

Le të marrim një funksion ƒ me shumë ndryshore. Për shembull, :${\displaystyle z=f(x,y)=x^{2}+xy+y^{2}.\,}$

Një graf i funksionit z = x² + xy + y². Për derivatin pjesor tek (1, 1, 3) marrim ndryshore y si konstante, kështu që drejtëza tangjente është paralele me planin xz.

Grafiku i këtij funksioni përcakton një sipërfaqe në hapësirën Euklidiane. Për çdo pikë në këtë sipërfaqe, ka një numër të pafund të drejtëzash tangjente. Diferencimi pjesor është procesi i zgjedhjes së një prej këtyre drejtëzave dhe gjetja e pjerrësisë së saj. Zakonisht, drejtëzat më interesante janë ato që janë paralele me planin -xz, dhe ato që janë paralele me planin yz.

Për të gjetur pjerrësinë e drejtëzës tangjente tek funksioni në pikën (1, 1, 3) që është paralele me planin xz-, ndryshorja y trajtohet si konstante. Grafiku i këtij plani është paraqitur në të djathtë. Në grafikun më poshtë , ne shohim mënyrën se si funksioni duket në planin y = 1. Duke gjetur derivatin e ekuacionit duke supozuar se ndryshorja y është një konstante, pjerrësia e ƒ në pikën (x,y, z) është :

${\displaystyle {\frac {\partial z}{\partial x}}=2x+y}$

Pra, në (1, 1, 3), duke zëvendësuar koordinatën, gjejmë se pjerrësia e tangjentes është 3. Prandaj

${\displaystyle {\frac {\partial z}{\partial x}}=3}$

në pikën (1, 1, 3). Pra, derivat pjesor i z në lidhje me x tek pika (1, 1, 3) është 3.

Shikoni gjithashtu

• Operatori i d'Alembertit
• Rregulli zinxhir
• Divergjenca
• Derivati i jashtëm
• Gradienti
• Matrica dhe përcaktori Jakobian
• Operatori Laplasian