Divergjenca

Në llogaritjen vektoriale, divergjenca është një operator vektorial që vepron mbi një fushë vektoriale, duke prodhuar një fushë skalare që jep madhësinë e burimit të fushës vektoriale në secilën pikë. Më teknikisht, divergjenca përfaqëson dëndësinë e vëllimit të fluksit të jashtëm të një fushe vektoriale nga një vëllim pambarimisht i vogël rreth një pike të caktuar.

Divergjenca e fushave të ndryshme vektoriale. Divergjenca e vektorëve nga pika ${\displaystyle (x,y)}$ është e barabartë me shumën e derivatit të pjesshëm - në lidhje me - ${\displaystyle x}$ të komponentit ${\displaystyle x}$ dhe derivatit të pjesshëm - në lidhje me - ${\displaystyle y}$ - të komponentit ${\displaystyle y}$ në atë kohë pika: ${\displaystyle \nabla \!\cdot (\mathbf {V} (x,y))={\frac {\partial \,{V_{x}(x,y)}}{\partial {x}}}+{\frac {\partial \,{V_{y}(x,y)}}{\partial {y}}}}$

Si shembull, merrni parasysh ajrin ndërsa nxehet ose ftohet. Shpejtësia e ajrit në çdo pikë përcakton një fushë vektoriale. Ndërsa ajri nxehet në një rajon, ai zgjerohet në të gjitha drejtimet, dhe kështu fusha e shpejtësisë tregon jashtë nga ai rajon. Kështu, divergjenca e fushës së shpejtësisë në atë rajon do të kishte një vlerë pozitive. Ndërsa ajri ftohet dhe kështu tkurret, divergjenca e shpejtësisë ka një vlerë negative.

E ç'është divergjenca?

Divergjenca në një pikë ${\displaystyle x}$ është limiti i raportit të fluksit ${\displaystyle \Phi }$ përmes sipërfaqes ${\displaystyle S_{i}}$ (shigjeta të kuqe) tek vëllimi ${\displaystyle |V_{i}|}$ për çdo varg të rajoneve të mbyllura ${\displaystyle V_{1},V_{2},V_{3}...}$ që mbyllin ${\displaystyle x}$ i cili i afrohet vëllimit zero:
${\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {F} =\lim _{|V_{i}|\to 0}{\frac {\Phi (S_{i})}{|V_{i}|}}}$

Divergjenca e një fushe vektoriale ${\displaystyle {\boldsymbol {F(x)}}}$ në një pikë ${\displaystyle x_{0}}$ përcaktohet si kufiri i raportit të integralit të sipërfaqes së ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}}$ jashtë sipërfaqes së mbyllur të një vëllimi ${\displaystyle V}$ që mbyll ${\displaystyle x_{0}}$ me vëllimin e ${\displaystyle V}$, ndërsa ${\displaystyle V}$ tkurret në zero

${\displaystyle \operatorname {div{\boldsymbol {F|_{x_{0}}}}} =\lim _{V\to 0}{\frac {1}{|V|}}\oiint _{S(V)}{\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {\widehat {n}}}{\text{ d}}{S}}$

ku ${\displaystyle |V|}$ është vëllimi i ${\displaystyle V}$, ${\displaystyle S(V)}$ është kufiri i ${\displaystyle V}$, and ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$ është normalja njësi e asaj sipërfaqe. IMund të tregohet se limiti i mësipërm konvergjon gjithmonë drejt së njëjtës vlerë për çdo sekuencë vëllimesh që përmbajnë ${\displaystyle x_{0}}$ dhe i afrohen zeros. Rezultati, ${\displaystyle \operatorname {div} F}$, është një funksion skalar i ${\displaystyle x}$.

Përkufizimi në koordinata

Koordinatat karteziane

Në koordinatat karteziane tredimensionale, divergjenca e një fushe vektoriale vazhdimisht të diferencueshme ${\displaystyle \mathbf {F} =F_{x}\mathbf {i} +F_{y}\mathbf {j} +F_{z}\mathbf {k} }$ përkufizohet si funksioni me vlera skalare :

${\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {F} =\nabla \cdot \mathbf {F} =\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)\cdot (F_{x},F_{y},F_{z})={\frac {\partial F_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}.}$

Koordinatat cilindrike

Për një vektor të shprehur në koordinata cilindrike njësi si

${\displaystyle \mathbf {F} =\mathbf {e} _{r}F_{r}+\mathbf {e} _{\theta }F_{\theta }+\mathbf {e} _{z}F_{z},}$

ku ${\displaystyle {\textbf {e}}_{a}}$ është vektori njësi në drejtimin a, divergjenca është

${\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {F} =\nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(rF_{r}\right)+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial F_{\theta }}{\partial \theta }}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}.}$

Përdorimi i koordinatave vendore është jetik për vlefshmërinë e shprehjes. Nëse marrim parasysh ${\displaystyle {\vec {x}}}$ si vektorin e vendndodhjes dhe funksionet ${\displaystyle r({\vec {x}})}$, ${\displaystyle \theta {({\vec {x}})}}$ dhe ${\displaystyle z({\vec {x}})}$, të cilët i caktojnë një vektori koordinatën cilindrike globale përkatëse, në përgjithësi. ${\displaystyle r(\mathbf {F} (\mathbf {x} ))\neq F_{r}(\mathbf {x} )}$, ${\displaystyle \theta (\mathbf {F} (\mathbf {x} ))\neq F_{\theta }(\mathbf {x} )}$, dhe ${\displaystyle z(\mathbf {F} (\mathbf {x} ))\neq F_{z}(\mathbf {x} )}$ . Në veçanti, nëse marrim parasysh funksionin e identitetit ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}({\vec {x}})={\vec {x}}}$, gjejmë se:

${\displaystyle \theta (\mathbf {F} (\mathbf {x} ))=\theta \neq F_{\theta }(\mathbf {x} )=0}$ .

Koordinatat sferike

Në koordinatat sferike, me ${\displaystyle \theta }$ këndin me boshtin ${\displaystyle z}$ dhe ${\displaystyle \varphi }$ rrotullimin rreth boshtit ${\displaystyle z}$, dhe ${\displaystyle F}$ përsëri të shkruar në koordinatat e njësive vendore, divergjenca është:

${\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {F} =\nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}F_{r}\right)+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}(\sin \theta \,F_{\theta })+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial F_{\varphi }}{\partial \varphi }}.}$

Vetitë

Vetitë e mëposhtme mund të nxirren të gjitha nga rregullat e zakonshme të diferencimit të llogaritjes . Më e rëndësishmja, divergjenca është një operator linear, dmth.

${\displaystyle \operatorname {div} (a\mathbf {F} +b\mathbf {G} )=a\operatorname {div} \mathbf {F} +b\operatorname {div} \mathbf {G} }$

për të gjitha fushat vektoriale ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}}$ dhe ${\displaystyle {\boldsymbol {G}}}$ dhe të gjithë numrat realë ${\displaystyle a}$ dhe ${\displaystyle b}$ .

Ekziston një rregull produkti i llojit të mëposhtëm: nëse ${\displaystyle \varphi }$ është një funksion me vlera skalare dhe ${\displaystyle F}$ është një fushë vektoriale, atëherë

${\displaystyle \operatorname {div} (\varphi \mathbf {F} )=\operatorname {grad} \varphi \cdot \mathbf {F} +\varphi \operatorname {div} \mathbf {F} ,}$

ose në shënime më sugjestive

${\displaystyle \nabla \cdot (\varphi \mathbf {F} )=(\nabla \varphi )\cdot \mathbf {F} +\varphi (\nabla \cdot \mathbf {F} ).}$

Një rregull tjetër produkti për produktin kryq të dy fushave vektoriale ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}}$ dhe ${\displaystyle {\boldsymbol {G}}}$ në tre dimensione përfshin kaçurrelin dhe lexon si më poshtë:

${\displaystyle \operatorname {div} (\mathbf {F} \times \mathbf {G} )=\operatorname {curl} \mathbf {F} \cdot \mathbf {G} -\mathbf {F} \cdot \operatorname {curl} \mathbf {G} ,}$

ose

${\displaystyle \nabla \cdot (\mathbf {F} \times \mathbf {G} )=(\nabla \times \mathbf {F} )\cdot \mathbf {G} -\mathbf {F} \cdot (\nabla \times \mathbf {G} ).}$

Laplasiani i një fushe skalare është divergjenca e gradientit të fushës:

${\displaystyle \operatorname {div} (\operatorname {grad} \varphi )=\Delta \varphi .}$

Divergjenca e kaçurrelit të çdo fushe vektoriale (në tre dimensione) është e barabartë me zero:

${\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {F} )=0.}$