Monoid

Mónoid M = {a, b, ...} je v matematiki par (M, *), kjer je M neprazna množica in * asociativna dvočlena operacija na M, ki zadošča pogojem:

• Za vsak a, b ${\displaystyle \in }$ M, velja a * b ${\displaystyle \in }$ M. (Zakon o zaprtosti).
• Za vsak a, b in c ${\displaystyle \in }$ M, velja (a * b) * c = a * (b * c) (Zakon o združevanju faktorjev (Zakon o asociativnosti)).
• V M obstaja takšen element e, za katerega za vsak a ${\displaystyle \in }$ M velja e * a = a * e = a (Zakon o nevtralnem elementu (identiteti)).

Grupam podobne strukture
	Zaprtaα	Asociativnost	Identiteta	Invertibilnost	Komutativnost
Polgrupoid	Nepotrebno	Zahtevano	Nepotrebno	Nepotrebno	Nepotrebno
Mala kategorija	Nepotrebno	Zahtevano	Zahtevano	Nepotrebno	Nepotrebno
Grupoid	Nepotrebno	Zahtevano	Zahtevano	Zahtevano	Nepotrebno
Magma	Zahtevano	Nepotrebno	Nepotrebno	Nepotrebno	Nepotrebno
Kvazigrupa	Zahtevano	Nepotrebno	Nepotrebno	Zahtevano	Nepotrebno
Enotska magma	Zahtevano	Nepotrebno	Zahtevano	Nepotrebno	Nepotrebno
Zanka	Zahtevano	Nepotrebno	Zahtevano	Zahtevano	Nepotrebno
Polgrupa	Zahtevano	Zahtevano	Nepotrebno	Nepotrebno	Nepotrebno
Inverzna polgrupa	Zahtevano	Zahtevano	Nepotrebno	Zahtevano	Nepotrebno
Monoid	Zahtevano	Zahtevano	Zahtevano	Nepotrebno	Nepotrebno
Komutativni monoid	Zahtevano	Zahtevano	Zahtevano	Nepotrebno	Zahtevano
Grupa	Zahtevano	Zahtevano	Zahtevano	Zahtevano	Nepotrebno
Abelova grupa	Zahtevano	Zahtevano	Zahtevano	Zahtevano	Zahtevano
^α Zaprtost, ki se uporablja v veliko virih, je ekvivalentni aksiom kot popolnost, četudi je definiran drugače.

Drugače povedano, monoid je polgrupa z nevtralnim elementom (identiteto).

Zgledi monoidov

• Katerakoli grupa.
• Elementi vsakega enotskega kolobarja z operacijo množenja.
  • Množice celih števil Z, naravnih števil N ali kompleksnih števil C z operacijo množenja.
  • Množica vseh n × n matrik z matričnim množenjem.
• Množice naravnih števil N z operacijo seštevanja.
• Množica končnih znakovnih nizov, s praznim znakovnim nizom ε ≡ "" čez poljubno določeno abecedo Σ z operacijo spojitve znakovnega niza. V teoretičnem računalništvu je takšen monoid označen z Σ^*, v matematiki pa se imenuje »prosti monoid čez Σ«.
  • Na primer prosti idempotentni monoidi za abecedo Σ z n črkami so {1, 2, 7, 160, 332381, 2751884514766, 272622932796281408879065987, 3641839910835401567626683593436003894250931310990279692, ...} (OEIS A005345). Splošni člen takšnih monoidov je:

a(n) = Σ C(n,k) Π (k-i+1)^{2^i}, (pri i = 1 ... k in k = 0 ... n).

• Če izberemo poljuben objekt kategorije in imamo množico vseh morfizmov teh objektov vase z operacijo sestave (kompozicije) (glej teorijo kategorije). Primeri iz dobro znanih kategorij so:
  • Množica vseh zveznih enotnih kart topološkega prostora z operacijo sestave (kompozicije).
  • Množica vseh endomorfizmov določene grupe z operacijo sestave (kompozicije).
  • Množica vseh funkcij iz množice nanjo z operacijo sestave (kompozicije).

Neposredno iz določitve lahko pokažemo, da je nevtralni element e edin. Potem lahko določimo obrnljive elemente: element x se imenuje obrnljiv, če obstaja tak&šen element y, za katerega velja x * y = e in y * x = e. Pokaže se, da množica vseh obrnljivih elementov z operacijo * tvori grupo. V tem smislu vsak monoid vsebuje grupo.

Vsakega monoida pa ne moremo imeti za grupo. Lahko imamo, na primer, monoid v katerem obstajata tak&šna elementa a in b, za katera vela a * b = a, pa čeprav b ni nevtralni element. Takšnega monoida ne moremo vložiti v grupo, ker v grupi lahko množimo obe strani z obratnim elementom a in bi dobili b = e, kar pa ne drži. Monoid (M, *) ima lastnost razveljavitve (oziroma je razveljaviten), če za vse a, b in c ${\displaystyle \in }$ M iz a * b = a * c vedno sledi b = c in iz b * a = c * a prav tako vedno sledi b = c. Komutativni monoid, ki je razveljaviten lahko vedno vložimo v grupo. Tako cela števila (grupa z operacijo +) pridelamo iz naravnih števil (komutativen monoid z operacijo + in lastnostjo razveljavitve). Nekomutativen razveljaviten monoid pa ni vložljiv v grupo.

Če je monoid razveljaviten in je končen, je v bistvu grupa.

Na kategorije lahko gledamo kot na posplošitve monoidov. Sestava (kompozicija) morfizma v kategoriji ima enake lastnosti kot monoid s tem, da vseh parov morfizmov ne moremo sestaviti. Tudi za kategorije lahko dokažemo veliko definicij in izrekov o monoidih.