Dualna krivulja

Dualna krivulja je v projektivni geometriji za dano krivuljo ${\displaystyle C\,}$ krivulja v dualni projektivni ravnini, ki jo sestavlja množica tangentnih premic na ${\displaystyle C\,}$. Obstoja preslikava iz krivulje v njeno dualno obliko .

Krivulji, ki sta dualni druga drugi; glej spodaj Lastnosti.

Parametrična oblika dualne krivulje

Za parametrično določeno krivuljo je dualna krivulja definirana s parametričnima enačbama

${\displaystyle X[x,y]={\frac {y'}{yx'-xy'}}}$

${\displaystyle Y[x,y]={\frac {x'}{xy'-yx'}}}$

Dualna točka prevoja nam da točko obrata. Dve točki, ki imata skupno tangento, bosta dali točko, kjer dualna krivulja seka samo sebe.

Lastnosti

Gladke krivulje

• Če je ${\displaystyle X\,}$ gladka algebrska krivulja s stopnjo ${\displaystyle d>1}$, potem je dualna krivulja (običajno singularna) ravninska krivulja s stopnjo ${\displaystyle d(d-1)}$.

• Če je ${\displaystyle d>2}$, potem je ${\displaystyle d-1>1}$ in je ${\displaystyle d(d-1)>d}$ in dualna krivulja mora biti singularna.

• Če je ${\displaystyle d=2}$, je tudi stopnja dualne krivulje tudi 2. Dualna krivulja stožnice je tudi stožnica.

• Dualna krivulja premice je točka.

Singularne krivulje

• za poljubno ravninsko algebrsko krivuljo ${\displaystyle X\,}$ s stopnjo ${\displaystyle d>1}$ je njena dualna krivulja ravninska s stopnjo ${\displaystyle d(d-1)-\delta }$, kjer je ${\displaystyle \delta }$ število singularnosti na krivulji ${\displaystyle X\,}$. Pri tem se vse singularnosti ne upoštevajo enako. Vsak vozel se množi z 2, vsaka točka obrata s 3.

Posplošitve

Podobno je pri posplošitvah na več razsežnosti. Pri tem dobimo hiperploskve, ker v vsaki točki tangentnega prostora dobimo družino hiperploskev. Te definirajo dualno hiperploskev v dualnem prostoru.

Za poljubno zaprto podvarieteto ${\displaystyle X\,}$ v projektivnem prostoru tvori množica hiperravnin, ki so tangentne v neki točki ${\displaystyle X\,}$, zaprto podvarieteto dualno projektivni ravnini.

Glej tudi

• dualni mnogokotnik
• Plückerjev obrazec
• Houghova transformacija
• Gaussova preslikava

Zunanje povezave

• Dualna krivulja (angleško)