Arkus kosinus

Arkus kosinus je funkcija inverzna kosinusnoj funkciji na intervalu [0,π] njenog domena. Koristi se za određivanje veličine ugla u ovom opsegu kada je poznata vrednost njegovog kosinusa.

Arkus kosinus
Osnovne osobine
Parnost	neparna
Domen	[-1,1]
Kodomen	[0,π]
Specifične vrednosti
Nule	1
Vrednost u -1	π
Vrednost u 0	π/2
Vrednost u 1	0
Specifične osobine
Prevoji	(0,π/2)
Ulazak u nulu pod uglom	-π/4

Formule

Slede neke od formula koje se vezuju za arkus kosinus:

${\displaystyle \arccos {-x}={\frac {\pi }{2}}-\arcsin {x}}$ (pravilo komplementarnih uglova)

${\displaystyle \arccos {-x}=\pi -\arccos {x}}$

${\displaystyle \arccos x=\arcsin {\sqrt {1-x^{2}}},}$ ako ${\displaystyle \ 0\leq x\leq 1}$

${\displaystyle \arccos {\frac {1}{x}}=arcsec{x}}$

Preko formule za polovinu ugla se dobija i:

${\displaystyle \arccos x=2\arctan {\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{1+x}},}$ ako ${\displaystyle -1<x\leq +1}$

Izvod:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arccos x{}={\frac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}};\qquad |x|<1}$

Predstavljanje u formi integrala:

${\displaystyle \arccos x{}=\int _{x}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\,dz,\qquad |x|\leq 1}$

Predstavljanje u formi beskonačne sume:

${\displaystyle {\begin{aligned}\arccos z&{}={\frac {\pi }{2}}-\arcsin z\\&{}={\frac {\pi }{2}}-(z+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{7}}{7}}+\cdots )\\&{}={\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {z^{2n+1}}{(2n+1)}};\qquad |z|\leq 1\end{aligned}}}$

Vanjske veze

• Funkcija arkus kosinus na wolfram.com

Trigonometrijske i hiperbolične funkcije

Sinus Kosinus Tangens Kotangens Sekans Kosekans Funkcija sin(x) cos(x) tg(x) ctg(x) sec(x) cosec(x) Inverzna arcsin(x) arccos(x) arctg(x) arcctg(x) arcsec(x) arccosec(x) Hiperbolična sinh(x) cosh(x) tgh(x) ctgh(x) sech(x) cosech(x) Inv. hiperbolična arcsinh(x) arccosh(x) arctgh(x) arcctgh(x) arcsech(x) arccosech(x)