Tačka (geometrija)

Tačka ili točka, u matematici, obično označava element nekog skupa nazvanog prostor.

Za ostale upotrebe, v. Tačka (razvrstavanje).

Preciznije, u Euklidskoj geometriji, tačka je primitivni pojam na kojem je geometrija zasnovana. Bivajući primitivni pojam znači da tačka ne može biti definisana u smislu prethodno definisanih objekata. To jest, tačka je definisana jedino nekim osobinama, zvanim aksiomi koje mora zadovoljiti. Konkretno, geometrijska tačka nema bilo kakvu dužinu, površinu, volumen, ili bilo koju dimenzionalnu karakteristiku. Česta interpretacija je da je koncept tačke trebao uhvatiti pojam unikatne lokacije u Euklidskom prostoru.

Takođe, jedan od osnovnih pojmova mehanike je materijalna tačka. To je telo koje nema dimenzija, ali ima masu, i u svakom trenutku se poklapa sa nekom tačkom prostora. Materijalna tačka predstavlja idealizaciju koja u realnosti ne postoji.^[1]

Tačke u Euklidskoj geometriji

Ograničen skup tačaka (plavo) u 2D Euklidskom prostoru.

Tačke, posmatrane u okviru Euklidske geometrije, su jedan od najtemeljnijih objekata. Euklid je prvobitno definirao tačke kao "ono što nema dijela". U dvodimenzionalnom Euklidskom prostoru, tačka je predstavljena uređenim parom (x, y) brojeva, gdje prvi broj konvencionalno predstavlja horizontalu i često se označava x, a drugi broj konvencionalno predstavlja vertikalu i često se označava y. Ova ideja je lahko generalizirana za trodimenzionalni Euklidski prostor, gdje je tačka predstavljena kao uređena trojka (x, y, z) sa dodatnim trećim brojem koji označava dubinu i često se označava z. Daljne generalizacije su predstavljene kao uređeni tuplet n uvjeta, (a₁, a₂, … , a_n), gdje je n dimenzija prostora u kojem se tačka nalazi.

Mnoge konstrukcije unutar euklidske geometrije sastoje se od neograničene kolekcije tačaka koje su u skladu sa određenim aksiomima. To se obično predstavlja skupom tačaka; Kao primjer, linija je neograničen skup tačaka oblika ${\displaystyle \scriptstyle {L=\lbrace (a_{1},a_{2},...a_{n})|a_{1}c_{1}+a_{2}c_{2}+...a_{n}c_{n}=d\rbrace }}$, gdje su c₁ kroz c_n i d konstante i n je dimenzija prostora. Slične konstrukcije postoje koje definiraju ravan, linijski segment i ostale slične koncepte. Usput, degenerisani linijski segment se sastoji od jedne tačke.

U dodatku sa definisanjem tačaka i oblika vezanih za tačke, Euklid je također uzeo kao istinito ključnu ideju o tačkama; tvrdio je da bilo koje dvije tačke mogu biti povezane pravcem. Ovo se lahko potvrđuje pod modernom ekspanzijom Euklidske geometrije, te ima trajne posljedice na svom predstavljanju, dopuštajući konstrukciju skoro svih geometrijskih koncepata vremena. Ipak, Euclidovi postulati tačaka nisu ni kompletni niti definitivni, jer je povremeno pretpostavljao činjenice o tačkama koje nisu slijedile direktno iz njegovih aksioma, poput redanja tačaka na liniju ili postojanje posebnih tačaka. Unatoč tome, moderne ekspanzije sistema služe za uklanjanje ovih pretpostavki.

Dimenzija tačke

Postoji nekoliko neekvivalentnih definicija dimenzije u matematici. U svim općim definicijama, tačka je 0-dimenzionalna.

Dimenzija vektorskog prostora

Glavni članak: Dimenzija (vektorski prostor)

Dimenzija vektorskog prostora je maksimalna veličina linearno nezavisnog podskupa. U vektorskom prostoru koji se sastoji od jedne tačke (koja ne smije biti nulti vektor 0), ne postoji linearno nezavisan podskup. Nulti vektor nije po sebi linearno nezavisan, jer postoji netrivijalna linearna kombinacija koja ga čini nulom: ${\displaystyle 1\cdot \mathbf {0} =\mathbf {0} }$.

Topološka dimenzija

Topološka dimezija topološkog prostora X je definisana da bude minimalne vrijednosti n, takva da je svaki ograničeni otvoreni interval Neuspjeh pri parsiranju (SVG (MathML se može omogućiti putem plugina u pregledniku): Neispravan odgovor ("Math extension cannot connect to Restbase.") sa servera "http://localhost:6011/sh.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle \mathcal{A}} od X priznaje ograničen otvoreni interval ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ od X koji rafinira ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ u kojem se tačka ne nalazi u više od n+1 elemenata. Ako takav najmanji n ne postoji, za prostor se kaže da je od beskonačno-pokrivene dimenzije.

Tačka je nulte dimenzije sa poštovanjem pokrivenosti dimenzije jer svaki otvoreni interval prostora ima rafiniranje koje se sastoji od jednog otvorenog skupa.

Hausdorffova dimenzija

Pustimo X da bude metrički prostor. Ako je S ⊂ X i d ∈ [0, ∞), d-dimenzionalni Hausdorffov sadržaj od S je infimum skupa brojeva za δ ≥ 0 takvih da postoji neka (indeksirana) kolekcija loptica ${\displaystyle \{B(x_{i},r_{i}):i\in I\}}$ koje pokrivaju S sa r_i > 0 za svaki i ∈ I koji zadovoljava ${\displaystyle \sum _{i\in I}r_{i}^{d}<\delta }$.

Hausdorffova dimenzija X je definisana sa

${\displaystyle \operatorname {dim} _{\operatorname {H} }(X):=\inf\{d\geq 0:C_{H}^{d}(X)=0\}.}$

Tačka ima Hausdorffovu dimenziju 0 jer može biti pokrivena samo jednom loptom proizvoljno malog radijusa.

Geometrija bez tačaka

Iako je ideja tačke generalno smatrana temeljem u standardnoj geometriji i topologiji, postoje neki sistemi koji su je zaboravili, npr. nekomutativna geometrija i topologija bez tačke. Besmisleni i bez-tačke prostor nije definisan kao skup, nego preko neke strukture (algebarske ili logične respektivno) što izgleda kao dobro poznata funkcija prostora u skupu: algebra neprekidnih funkcija ili algebra skupova respektivno. Preciznije, takve strukture generaliziraju dobro poznate prostore funkcija u smislu da operacija "uzima vrijednost na ovoj tački" može da ne bude definisana. Dalja tradicija počinje iz nekih knjiga autora A. N. Whitehead u kojima je pojam regije pretpostavljen kao primitiv zajedno sa onim iz inkluzije ili konekcije.

Masa tačaka i Diracova delta funkcija

Glavni članak: Diracova delta funkcija

Često u fizici i matematici, korisno je zamišljati kao da ima ne-nultu masu ili naboj (ovo je posebno često u elektromagnetizmu, gdje su elektroni idealizirani kao tačke sa ne-nultim nabojem). Diracova delta funkcija, ili δ funkcija, jeste (neformalno) generalizirana funkcija realne brojne linije koja je nula svuda osim u nuli, sa integralom jednog na cijeloj realnoj liniji.^[2][3][4] Delta funkcija se ponekad smatra kao beskonačno visoka, beskonačno tanak špic na izvoru, sa ukupnom površinom jedan ispod špica, te fizikalno predstavlja idealiziranu tačkastu masu ili tačkasti naboj.^[5] Prvi put je objavljena od strane teoretskog fizičara Paula Diraca. U kontekstu signalnog procesiranja često se označava kao jedinični impulsni simbol (ili funkcija).^[6] Njen diskretni analog je Kronecker delta funkcija koja se često definiše na ograničenoj domeni i uzima vrijednosti 0 i 1.

Povezano

• Granična tačka
• Kritična tačka
• Temelji geometrije
• Pozicija (geometrija)
• Singularna tačka krivulje

Reference

1. Jugoslav Karamarković, Fizika (str. 13), Univerzitet u Nišu, 2005.
2. Dirac 1958, §15 The δ function harvnb error: no target: CITEREFDirac1958 (help), p. 58
3. Gel'fand & Shilov 1968, Volume I, §§1.1, 1.3 harvnb error: no target: CITEREFGel'fandShilov1968 (help)
4. Schwartz 1950: str. 3 harvnb error: no target: CITEREFSchwartz1950 (help)
5. Arfken & Weber 2000: str. 84 harvnb error: no target: CITEREFArfkenWeber2000 (help)
6. Bracewell 1986, Chapter 5 harvnb error: no target: CITEREFBracewell1986 (help)

Literatura

• Clarke, Bowman, 1985, "Individuals and Points," Notre Dame Journal of Formal Logic 26: 61–75.
• De Laguna, T., 1922, "Point, line and surface as sets of solids," The Journal of Philosophy 19: 449–61.
• Gerla, G., 1995, "Pointless Geometries Arhivirano 2011-07-17 na Wayback Machine-u" in Buekenhout, F., Kantor, W. eds., Handbook of incidence geometry: buildings and foundations. North-Holland: 1015–31.
• Whitehead A. N., 1919. An Enquiry Concerning the Principles of Natural Knowledge. Cambridge Univ. Press. 2nd ed., 1925.

Vanjske veze

Tačka (geometrija) na Wikimedijinoj ostavi

• Definition of Point with interactive applet
• Points definition pages, with interactive animations that are also useful in a classroom setting. Math Open Reference
• Šablon:PlanetMath reference
• Weisstein, Eric W., "Point", MathWorld.