Знак корня

Знак корня (или знак радикала) в математике — условное обозначение ${\displaystyle {\sqrt {\quad }}}$ для операции извлечения корня. В общем случае (для корней n-й степени) показатель корня ${\displaystyle n}$ ставится над «птичкой», например: знак ${\displaystyle {\sqrt[{3\,}]{\quad }}}$ используется для кубических корней, ${\displaystyle {\sqrt[{4\,}]{\quad }}}$ — для корней 4-й степени и т. п.. Показатель 2 для квадратного корня разрешается не указывать, он подразумевается по умолчанию. Подкоренное выражение указывается после знака радикала и охватывается чертой сверху, например: ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{T^{2}+1}}}$.

Знак корня
√∛∜
Изображение
◄ ∖ ∗ ∘ ∙ √ ∛ ∜ ∝ ∞ ► ◄ ∗ ∘ ∙ √ ∛ ∜ ∝ ∞ ∟ ► ◄ ∘ ∙ √ ∛ ∜ ∝ ∞ ∟ ∠ ►
Характеристики
Название	√: square root ∛: cube root ∜: fourth root
Юникод	√: U+221A ∛: U+221B ∜: U+221C
HTML-код	√‎: √ или √ ∛‎: ∛ или ∛ ∜‎: ∜ или ∜
UTF-16	√‎: 0x221A ∛‎: 0x221B ∜‎: 0x221C
URL-код	√: %E2%88%9A ∛: %E2%88%9B ∜: %E2%88%9C
Мнемоника	√: √

Корни чётной степени из вещественных чисел неоднозначны — например, у числа 9 существуют два квадратных корня, ${\displaystyle +3}$ и ${\displaystyle -3.}$ Во избежание недоразумений принято соглашение, что под знаком корня чётной степени из вещественного числа может находиться только неотрицательное число, и значение корня всегда неотрицательно (см. Арифметический корень)^[1][2]. Если требуется учесть двузначность корня, перед радикалом ставится знак плюс-минус^[1]; например, так делается в формуле решения квадратного уравнения ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$:

${\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}$

Для корней в комплексной области знак радикала обычно либо не используется, либо обозначает не функцию корня, а множество всех корней; в последнем случае, во избежание ошибок, знак радикала не должен использоваться в арифметических операциях (см. Комплексные корни).

История

Основная статья: История математических обозначений § Операции

Знак корня происходит из строчной латинской буквы r (начальной в лат. radix — корень), сросшейся с надстрочной чертой: ранее надчёркивание выражения использовалось вместо нынешнего заключения его в скобки. Так что ${\displaystyle {\sqrt {a+b}}}$ есть всего лишь видоизменённый способ записи выражения r${\displaystyle {\overline {a+b}}}$.

Впервые такое обозначение использовал немецкий математик Кристоф Рудольф в 1525 году. Им также были изобретены символы и для корней третьей и четвёртой степеней соответственно, однако они не закрепились в науке^[3].

Кубический корень в XVI веке мог обозначаться следующим образом: R_x.u.cu (от лат. Radix universalis cubica), были и другие варианты^[4]. С появлением современного знака радикала корни степени выше второй некоторое время обозначалась замысловатыми зигзагами, состоящими из «склеенных» соответствующее число раз знаков радикала, или пометкой после радикала — например, ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{x}}}$ мог обозначаться ${\displaystyle {\sqrt {Cx}}}$, где буква С означала «кубический», или ${\displaystyle {\sqrt {3:x}}.}$ Современное обозначение корня произвольной степени с показателем слева вверху начал использовать Альбер Жирар (1629). Закрепился этот формат благодаря Ньютону и Лейбницу^[5][6].

Типографика

• 
  американский вариант
• 
  немецкий вариант
• 
  русский вариант ^[7]
• 
  вариант TeX

В некоторых типографских традициях (например, в германской) принято верхнюю черту знака корня снабжать справа небольшой обращённой вниз засечкой. В американской типографике (в частности, системе T_EΧ) этой детали нет.

Длина и высота знака корня должны быть такими, чтобы полностью покрывать подкоренное выражение. При соседстве в одной строке нескольких подкоренных выражений разной (но близкой) высоты часто бывает принято все знаки корня подстраивать под самое высокое из них.

Знак корня используют только для выражений, помещающихся в пределах строки, а для более длинных вместо ${\displaystyle {\sqrt[{n\,}]{abcde\dots }}}$ применяют эквивалентную запись ${\displaystyle (abcde\dots )^{1/n}}$. Впрочем, в некоторых руководствах по набору и вёрстке упоминается разрыв подкоренного выражения на несколько строк; при этом знак корня ставится над первой, а над продолжением подкоренного выражения ставится черта; в месте разрыва строк и знак корня, и черта над продолжением снабжаются стрелками, обращёнными наружу.

Кодировка

В Юникоде, HTML и T_EΧ используются следующие коды для представления знака радикала

Тип корня	Символ	Юникод	XML	URL	HTML-текст	TEΧ
Квадратный	${\displaystyle {\sqrt {}}}$	U+221A	√ или √	%E2%88%9A	√	\sqrt
Кубический	${\displaystyle {\sqrt[{3}]{}}}$	U+221B	∛ или ∛	%E2%88%9B		\sqrt[3]
4-й степени	${\displaystyle {\sqrt[{4}]{}}}$	U+221C	∜ или ∜	%E2%88%9C		\sqrt[4]

Другие кодировки для символа квадратного корня:

• 0xC3, MacRoman и Mac OS Cyrillic.
• 0xD6 в шрифте Symbol^[8].

Примечания

1. Элементарная математика, 1976, с. 49.
2. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике, 1970, с. 33.
3. Florian Cajori. A History Of Mathematical Notations. — The Open Court Company, 1928. — Т. 1. — С. 150.
4. Никифоровский В. А. . Из истории алгебры XVI—XVII вв. — М.: Наука, 1979. — 208 с. — (История науки и техники). — С. 81.
5. История математики, том II, 1970, с. 41.
6. Cajori F. . A History of Mathematical Notations. Vol. 1 (1929 reprint), §328—333. — NY: Cosimo, Inc., 2007. — xvi + 456 p. — ISBN 978-1-60206-684-7.
7. Valentin Zaitsev, Andrew Janishewsky, Alexander Berdnikov: Russian Typographical Traditions in Mathematical Literature. In: EuroTeX'99 proceedings. Архивная копия от 28 сентября 2012 на Wayback Machine (PDF 196 KB, english)
8. Apple Computer (2005-04-05) [1995-04-15]. Map (external version) from Mac OS Symbol character set to Unicode 4.0 and later. Unicode Consortium. SYMBOL.TXT. Архивировано 15 июля 2023. Дата обращения: 15 июля 2023.

Литература

• Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И. Элементарная математика. Повторительный курс. — Издание третье, стереотипное. — М.: Наука, 1976. — 591 с.
• История математики. Т. II. Математика XVII столетия / Под редакцией А. П. Юшкевича. — М.: Наука, 1970. — 301 с.
• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). — 2-е изд. — М.: Наука, 1970. — 720 с.
• Florian Cajori. A History of Mathematical Notations (Two Volume in One), Cosimo, 2011 (Nachdruck). ISBN 1-61640-571-6.

Ссылки

• √ на сайте Scriptsource.org (англ.)
• ∛ на сайте Scriptsource.org (англ.)
• ∜ на сайте Scriptsource.org (англ.)