Характеристика (алгебра)
Материал из Википедии — свободной encyclopedia
Характеристика — числовая величина, используемая в общей алгебре для описания некоторых свойств колец или полей.
Для кольца характеристикой
называется наименьшее целое
такое, что для каждого элемента
выполняется равенство:
,
а если такого числа не существует, то предполагается .
Если кольцо содержит натуральные числа, умножение определено обычным способом, и кольцо имеет единицу, то характеристика может быть определена как наименьшее ненулевое натуральное число такое, что
; если же такого
не существует, то характеристика равна нулю.
Характеристики кольца целых чисел , поля рациональных чисел
, поля вещественных чисел
, поля комплексных чисел
равны нулю. Характеристика кольца вычетов
равна
. Характеристика конечного поля
, где
— простое число,
— положительное целое, равна
.
Тривиальное кольцо с единственным элементом — единственное кольцо с характеристикой
.
Если нетривиальное кольцо с единицей и без делителей нуля имеет положительную характеристику , то она является простым числом. Следовательно, характеристика любого поля
есть либо
, либо простое число
. В первом случае поле
содержит в качестве подполя поле, изоморфное полю рациональных чисел
, во втором случае поле
содержит в качестве подполя поле, изоморфное полю вычетов
. В обоих случаях это подполе называется простым полем (содержащимся в
).
Характеристика конечного поля всегда положительна, однако из того, что характеристика поля положительна, не следует, что поле конечно. В качестве контрпримеров можно привести поле рациональных функций с коэффициентами в и алгебраическое замыкание поля
.
Если — коммутативное кольцо простой характеристики
, то
для всех
,
. Для таких колец можно определить эндоморфизм Фробениуса.