Функция Мёбиуса

Функция Мёбиуса ${\displaystyle \mu (n)}$ — мультипликативная арифметическая функция, применяемая в теории чисел и комбинаторике, названа в честь немецкого математика Мёбиуса, который впервые рассмотрел её в 1831 году.

Определение

${\displaystyle \mu (n)}$ определена для всех натуральных чисел ${\displaystyle n}$ и принимает значения ${\displaystyle {-1,\;0,\;1}}$ в зависимости от характера разложения числа ${\displaystyle n}$ на простые сомножители:

• ${\displaystyle \mu (n)=1}$, если ${\displaystyle n}$ свободно от квадратов (то есть не делится на квадрат никакого простого числа) и разложение ${\displaystyle n}$ на простые множители состоит из чётного числа сомножителей;
• ${\displaystyle \mu (n)=-1}$, если ${\displaystyle n}$ свободно от квадратов и разложение ${\displaystyle n}$ на простые множители состоит из нечётного числа сомножителей;
• ${\displaystyle \mu (n)=0}$, если ${\displaystyle n}$ не свободно от квадратов.

По определению также полагают ${\displaystyle \mu (1)=1}$.

50 первых точек

У Ивана Матвеевича Виноградова в книге «Элементы высшей математики» встречается следующее определение функции Мёбиуса:

Функция Мёбиуса — мультипликативная функция, определённая равенствами: ${\displaystyle \mu \,(p)=-1,\;\mu \,(p^{\alpha })=0,\;{\text{если}}\;\alpha >1.}$

Из этих двух равенств и мультипликативности самой функции выводятся её значения для всех натуральных аргументов.

Свойства и приложения

• Функция Мёбиуса мультипликативна: для любых взаимно простых чисел ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ выполняется равенство ${\displaystyle \mu (ab)=\mu (a)\mu (b)}$.
• Сумма значений функции Мёбиуса по всем делителям целого числа ${\displaystyle n}$, не равного единице, равна нулю

${\displaystyle \sum _{d|n}\mu (d)={\begin{cases}1,&n=1,\\0,&n>1.\end{cases}}}$

Это, в частности, следует из того, что для всякого непустого конечного множества количество различных подмножеств, состоящих из нечётного числа элементов, равно количеству различных подмножеств, состоящих из чётного числа элементов, — факт, применяемый также в доказательстве формулы обращения Мёбиуса.

• ${\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{n}\mu (k)\left[{\frac {n}{k}}\right]=1.}$
• ${\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {\mu (kn)}{k}}=0,}$ где n — положительное целое число.
• ${\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {\mu (k)\ln k}{k}}=-1.}$
• ${\displaystyle \sum \limits _{k=0}^{\infty }{\frac {\mu (2k+1)\ln(2k+1)}{2k+1}}=-2.}$
• ${\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {\mu (k)\ln ^{2}k}{k}}=-2\gamma ,}$ где ${\displaystyle \gamma }$ — это постоянная Эйлера.
• ${\displaystyle \sum \limits _{k=0}^{\infty }{\frac {\mu (2k+1)\ln ^{2}(2k+1)}{2k+1}}=-4(\gamma +ln2).}$
• Функция Мёбиуса тесно связана с дзета-функцией Римана. Так, через функцию Мёбиуса выражаются коэффициенты ряда Дирихле функции, мультипликативно обратной для дзета-функции Римана:

${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}={\frac {1}{\zeta (s)}}}$.

Ряд абсолютно сходится при ${\displaystyle {\rm {Re}}\,s>1}$, на прямой ${\displaystyle {\rm {Re}}\,s=1}$ сходится условно, в области ${\displaystyle 1/2<{\rm {Re}}\,s<1}$ утверждение об условной сходимости ряда эквивалентно гипотезе Римана, а при ${\displaystyle {\rm {Re}}\,s<1/2}$ ряд заведомо не сходится, даже условно.

При ${\displaystyle {\rm {Re}}\,s>1}$ справедлива также формула:

${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {|\mu (n)|}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)}{\zeta (2s)}}}$

• ${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (pn)}{n^{s}}}={\frac {p^{s}}{(1-p^{s})\zeta (s)}},}$ где p — простое число.
• Функция Мёбиуса связана с функцией Мертенса, также тесно связанной с задачей о нулях дзета-функции Римана

${\displaystyle M(n)=\sum _{k=1}^{n}\mu (k).}$

• Справедливы асимптотические соотношения:

${\displaystyle {\frac {1}{x}}\sum \limits _{n\leq x}\mu (n)=o(1)}$ при ${\displaystyle x\rightarrow \infty }$

${\displaystyle {\frac {1}{x}}\sum \limits _{n\leq x}|\mu (n)|={\frac {1}{\zeta (2)}}+O({\frac {1}{\sqrt {x}}})}$,

из которых следует, что существует асимптотическая плотность распределения значений функции Мёбиуса. Линейная плотность множества её нулей равна ${\displaystyle 1-1/\zeta (2)=0,3920729}$, а плотность множества единиц (или минус единиц) ${\displaystyle 1/2\zeta (2)=0,30396355}$. На этом факте основаны теоретико-вероятностные подходы к изучению функции Мёбиуса.

Обращение Мёбиуса

Первая формула обращения Мёбиуса

Для арифметических функций ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$,

${\displaystyle g(n)=\sum _{d\,\mid \,n}f(d)}$

тогда и только тогда, когда

${\displaystyle f(n)=\sum _{d\,\mid \,n}\mu (d)g\left({\frac {n}{d}}\right)}$.

Вторая формула обращения Мёбиуса

Для вещественнозначных функций ${\displaystyle f(x)}$ и ${\displaystyle g(x)}$, определённых при ${\displaystyle x\geqslant 1}$,

${\displaystyle g(x)=\sum _{n\leqslant x}f\left({\frac {x}{n}}\right)}$

тогда и только тогда, когда

${\displaystyle f(x)=\sum _{n\leqslant x}\mu (n)g\left({\frac {x}{n}}\right)}$.

Здесь сумма ${\displaystyle \sum _{n\leqslant x}}$ интерпретируется как ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\lfloor x\rfloor }}$.

Обобщённая функция Мёбиуса

Несмотря на кажущуюся неестественность определения функции Мёбиуса, его природа может стать ясна при рассмотрении класса функций с аналогичными свойствами обращаемости, вводимых на произвольных частично упорядоченных множествах.

Пусть задано некоторое частично упорядоченное множество с отношением сравнения ${\displaystyle \prec }$. Будем считать, что ${\displaystyle a\preccurlyeq b\iff a\prec b\lor a=b}$.

Определение

Обобщённая функция Мёбиуса рекуррентно определяется соотношением.

${\displaystyle {\mu _{A}^{*}}(a,b)={\begin{cases}1,&a=b\\-\sum \limits _{a\preccurlyeq z\prec b}{{\mu _{A}^{*}}(a,z)},&a\prec b\\0,&a\not \preccurlyeq b\end{cases}}}$

Формула обращения

Пусть функции ${\displaystyle g}$ и ${\displaystyle f}$ принимают вещественные значения на множестве ${\displaystyle A}$ и выполнено условие ${\displaystyle g(x)=\sum \limits _{y\preccurlyeq x}{f(y)}}$.

Тогда ${\displaystyle f(x)=\sum \limits _{y\preccurlyeq x}{{\mu _{A}^{*}}(y,x)g(y)}}$

Связь с классической функцией Мёбиуса

Если взять в качестве ${\displaystyle A}$ множество натуральных чисел, приняв за отношение ${\displaystyle a\prec b}$ отношение ${\displaystyle a\mid b\land a\not =b}$, то получим ${\displaystyle {\mu _{\mathbb {N} }^{*}}(a,b)=\mu \left({\frac {b}{a}}\right)}$, где ${\displaystyle \mu }$ - классическая функция Мёбиуса.

Это, в частности, означает, что ${\displaystyle \mu (n)={\mu _{\mathbb {N} }^{*}}(1,n)}$, и далее определение классической функции Мёбиуса следует по индукции из определения обобщённой функции и тождества ${\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{n}{(-1)^{k}C_{n}^{k}}=0}$, так как суммирование по всем делителям числа, не делимого на полный квадрат, можно рассматривать как суммирование по булеану его простых множителей, перемножаемых в каждом элементе булеана.

См. также

• Свёртка Дирихле

Литература

• Виноградов И.М. Основы теории чисел. — 9-е изд. — М., 1981.
• Холл М. Комбинаторика = Combinatorial Theory. — М.: Мир, 1970. — 424 с.

Ссылки

• Лекторий МФТИ. Райгородский А.М. - Основы комбинаторики и теории чисел. Лекция №5, 2013.
• Лекторий МФТИ. Райгородский А.М. - Основы комбинаторики и теории чисел. Лекция №6, 2013.
• Обобщённая формула обращения Мёбиуса