Функция Мертенса — числовая функция, определяемая для натуральных чисел формулой:
- ,
где — функция Мёбиуса. Иными словами, — это разность между количеством свободных от квадратов чисел, не превосходящих и содержащих чётное число простых множителей, и количеством таких же чисел, но содержащих нечётное число простых множителей.
Может быть расширена на все положительные действительные числа следующим образом:
- .
Названа в честь Франца Мертенса, предложившего в 1897 году в связи с этой функцией гипотезу Мертенса (позднее отвергнутую).
Модуль функции не превосходит аргумент:
- .
Нетривиальное доказанное свойство — [1]. Также установлено, что , где — целая часть числа .
Серия тождеств, содержащих функцию Мертенса, получается единообразно на основе следующего факта: если , то при справедливо тождество:
- , где — сумматорная функция последовательности .
В частности, отсюда получаются следующие тождества, справедливые при :
- — характеристическое свойство функции Мертенса;
- , где — вторая функция Чебышёва;
- ;
- , где — функция Мангольдта;
- , где — количество делителей числа .
Функция Мертенса имеет области медленного изменения как в положительную, так и в отрицательную сторону, проходя средние и экстремальные значения, осциллируя, по видимости, хаотическим образом, проходя через нуль при следующих значениях [2]:
- 2, 39, 40, 58, 65, 93, 101, 145, 149, 150, 159, 160, 163, 164, 166, 214, 231, 232, 235, 236, 238, 254, 329, 331, 332, 333, 353, 355, 356, 358, 362, 363, 364, 366, 393, 401, 403, 404, 405, 407, 408, 413, 414, 419, 420, 422, 423, 424, 425, 427 …
Поскольку функция Мёбиуса может принимать только значения , функция Мертенса изменяется медленно: для всех верно, что . Гипотеза Мертенса предполагала более сильное ограничение: для всех абсолютное значение функции Мертенса не превосходит корня из : . Однако, гипотеза была опровергнута 1985 году Анджеем Одлыжко[англ.] и Германом те Риле[англ.]. Гипотеза Римана эквивалентна более слабой гипотезе о росте , а именно . Поскольку наибольшие значения растут как минимум так же быстро, как и корень из , это предположение довольно точно оценивает рост функции Мертенса ( обозначает O большое).
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
|
1 |
0 |
-1 |
-1 |
-2 |
-1 |
-2 |
-2 |
-2 |
-1 |
-2 |
-2 |
-3 |
-2 |
-1 |
-1 |
-2 |
-2 |
-3 |
-3 |
|
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
30 |
31 |
32 |
33 |
34 |
35 |
36 |
37 |
38 |
39 |
40 |
|
-2 |
-1 |
-2 |
-2 |
-2 |
-1 |
-1 |
-1 |
-2 |
-3 |
-4 |
-4 |
-3 |
-2 |
-1 |
-1 |
-2 |
-1 |
0 |
0 |
|
41 |
42 |
43 |
44 |
45 |
46 |
47 |
48 |
49 |
50 |
51 |
52 |
53 |
54 |
55 |
56 |
57 |
58 |
59 |
60 |
|
-1 |
-2 |
-3 |
-3 |
-3 |
-2 |
-3 |
-3 |
-3 |
-3 |
-2 |
-2 |
-3 |
-3 |
-2 |
-2 |
-1 |
0 |
-1 |
-1 |
|
61 |
62 |
63 |
64 |
65 |
66 |
67 |
68 |
69 |
70 |
71 |
72 |
73 |
74 |
75 |
76 |
77 |
78 |
79 |
80 |
|
-2 |
-1 |
-1 |
-1 |
0 |
-1 |
-2 |
-2 |
-1 |
-2 |
-3 |
-3 |
-4 |
-3 |
-3 |
-3 |
-2 |
-3 |
-4 |
-4 |
|
81 |
82 |
83 |
84 |
85 |
86 |
87 |
88 |
89 |
90 |
91 |
92 |
93 |
94 |
95 |
96 |
97 |
98 |
99 |
100 |
|
-4 |
-3 |
-4 |
-4 |
-3 |
-2 |
-1 |
-1 |
-2 |
-2 |
-1 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
2 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
101 |
102 |
103 |
104 |
105 |
106 |
107 |
108 |
109 |
110 |
111 |
112 |
113 |
114 |
115 |
116 |
117 |
118 |
119 |
120 |
|
0 |
-1 |
-2 |
-2 |
-3 |
-2 |
-3 |
-3 |
-4 |
-5 |
-4 |
-4 |
-5 |
-6 |
-5 |
-5 |
-5 |
-4 |
-3 |
-3 |
|
121 |
122 |
123 |
124 |
125 |
126 |
127 |
128 |
129 |
130 |
131 |
132 |
133 |
134 |
135 |
136 |
137 |
138 |
139 |
140 |
|
-3 |
-2 |
-1 |
-1 |
-1 |
-1 |
-2 |
-2 |
-1 |
-2 |
-3 |
-3 |
-2 |
-1 |
-1 |
-1 |
-2 |
-3 |
-4 |
-4 |
|
141 |
142 |
143 |
144 |
145 |
146 |
147 |
148 |
149 |
150 |
151 |
152 |
153 |
154 |
155 |
156 |
157 |
158 |
159 |
160 |
|
-3 |
-2 |
-1 |
-1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
-1 |
-1 |
-1 |
-2 |
-1 |
-1 |
-2 |
-1 |
0 |
0 |
Используя произведение Эйлера можно получить следующее представление:
- ,
где — это дзета-функция Римана, а произведение берётся по всем простым . Тогда, используя ряд Дирихле в правой части с формулой Перрона, получается:
где — замкнутая кривая, окружающая все корни .
Для обращения используется преобразование Меллина:
которое сохраняется при .
Из предположения, что существуют только некратные нетривиальные корни , получается «точная формула» по теореме о вычетах:
Вейль выдвинул предположение, что функция Мертенса удовлетворяет приближённому функционально-дифференциальному уравнению:
где — функция Хевисайда, — числа Бернулли, и все производные по вычисляются при .
Титчмарш (1960) доказал следующую формулу, включающую сумму с функцией Мёбиуса и нули дзета-функции Римана в форме:
где в сумме пробегает все мнимые части нетривиальных нулей, а связаны преобразованием Фурье, так что:
- .
Другая формула для функции Мертенса:
- ,
где — последовательность Фарея порядка .
Эта формула используется в доказательстве теореме Франеля — Ландау[3].
равна определителю (0,1)-матрицы Редхеффера порядка , в которой тогда и только тогда, когда или .
Матрица Редхеффера возникает при решении следующей системы линейных уравнений:
Матрица системы имеет треугольный вид, на главной диагонали у неё стоят единицы, поэтому определитель системы равен единице и решение системы существует и единственно.
Решением системы являются числа в силу характеристического свойства функции Мертенса:
При решении системы по правилу Крамера с учётом, что определитель системы равен 1, получается, что , равный , равен определителю матрицы, полученной из матрицы системы заменой первого столбца на столбец из единиц, а это и есть матрица Редхеффера порядка .
Функция Мертенса была вычислена для возрастающих диапазонов :
- Мертенс (1897) — 104,
- фон Штернек (1897) — 1,5⋅105,
- фон Штернек (1901) — 5⋅105,
- фон Штернек (1912) — 5⋅106,
- Нойбауэр (1963) — 108,
- Коэн и Дресс (1979) — 7,8⋅109,
- Дресс (1993) — 1012,
- Лиун и ван де Луне (1994) — 1013,
- Котник и ван де Луне (2003) — 1014
Функция Мертенса для всех целых, не превосходящих , может быть вычислена за время . Существует элементарный алгоритм, вычисляющий изолированное значение за время .
В элементарном доказательстве теоремы о распределении простых чисел Гельфонд доказал и использовал тот факт, что из следует [1].
А. О. Гельфанд, Ю. В. Линник. Элементарные методы в аналитической теории чисел. — Физматгиз, 1962.
- Е. К. Титчмарш. Теория дзета-функции Римана. — ИЛ, 1953.
- Edwards, Harold[англ.]. Riemann's Zeta Function (неопр.). — Mineola, New York: Dover, 1974. — ISBN 0-486-41740-9.
- F. Mertens, «Uber eine zahlentheoretische Funktion», Akademie Wissenschaftlicher Wien Mathematik-Naturlich Kleine Sitzungsber, IIa 106, (1897) 761—830.
- A. M. Odlyzko and Herman te Riele, «Disproof of the Mertens Conjecture», Journal fur die reine und angewandte Mathematik 357, (1985) pp. 138—160.
- Weisstein, Eric W. Mertens function (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- последовательность A002321 в OEIS
- Deleglise, M. and Rivat, J. «Computing the Summation of the Mobius Function.» Experiment. Math. 5, 291—295, 1996. http://projecteuclid.org/DPubS/Repository/1.0/Disseminate?view=body&id=pdf_1&handle=euclid.em/1047565447