![cover image](https://wikiwandv2-19431.kxcdn.com/_next/image?url=https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/20/BernoullisLawDerivationDiagram.svg/langru-640px-BernoullisLawDerivationDiagram.svg.png&w=640&q=50)
Уравнения Навье — Стокса
Материал из Википедии — свободной encyclopedia
Уравне́ния Навье́ — Сто́кса — система дифференциальных уравнений в частных производных, описывающая движение вязкой ньютоновской жидкости. Уравнения Навье — Стокса являются одними из важнейших в гидродинамике и применяются в математическом моделировании многих природных явлений и технических задач. Названы по имени французского физика Анри Навье и британского математика Джорджа Стокса.
В случае несжимаемой жидкости система состоит из двух уравнений:
В гидродинамике обычно уравнением Навье — Стокса называют только одно векторное уравнение движения[1][2][3][4][5][6]. Впервые уравнение Навье — Стокса было получено Навье (1822, несжимаемая жидкость[7]) и Пуассоном (1829, сжимаемая жидкость[8]), которые исходили из модельных представлений о молекулярных силах. Позже феноменологический вывод уравнения был дан Сен-Венаном[9] и Стоксом[10].
В векторном виде для жидкости они записываются следующим образом:
где — оператор набла,
— векторный оператор Лапласа,
— время,
— коэффициент кинематической вязкости,
— плотность,
— давление,
— векторное поле скорости,
— векторное поле массовых сил. Неизвестные
и
являются функциями времени
и координаты
, где
,
— плоская или трёхмерная область, в которой движется жидкость.
Для несжимаемой жидкости уравнения Навье — Стокса следует дополнить уравнением несжимаемости:
Обычно в систему уравнений Навье — Стокса добавляют краевые и начальные условия, например:
Иногда в систему уравнений Навье — Стокса дополнительно включают уравнение теплопроводности и уравнение состояния.
При учёте сжимаемости уравнения Навье — Стокса принимают следующий вид:
где — коэффициент динамической вязкости (сдвиговая вязкость),
— «вторая вязкость», или объёмная вязкость,
— дельта Кронекера. Это уравнение при условии постоянства вязкостей
и
сводится к векторному уравнению
Уравнение неразрывности для сжимаемой жидкости примет вид