Loading AI tools
Из Википедии, свободной энциклопедии
Уравне́ния Гамильто́на (также называемые каноническими уравнениями) в физике и математике — система дифференциальных уравнений:
где точкой над и обозначена производная по времени. Система состоит из 2N дифференциальных уравнений первого порядка (j = 1, 2, …, N) для динамической системы, описываемой N (обобщёнными) координатами, являющихся уравнениями движения (одной из форм таких уравнений, наравне с уравнениями Лагранжа, являющейся обобщением ньютоновских уравнений движения) системы, где — так называемая функция Гамильтона, также иногда именуемая гамильтонианом, — время[1], — (обобщенные) координаты и — обобщенные импульсы , определяющие состояние системы (точку фазового пространства).
Уравнения Гамильтона широко используются в гамильтоновой механике и других областях теоретической физики и математики.
Наиболее простая интерпретация этих уравнений заключается в следующем. Гамильтониан представляет в наиболее простых случаях энергию физической системы, которая есть сумма кинетической и потенциальной энергий, традиционно обозначаемых и соответственно:
В частном случае, если — декартовы координаты каждой материальной точки системы, записанные подряд по три (физическое пространство будем подразумевать здесь обычным трёхмерным), то есть
то канонические уравнения Гамильтона совпадают, учитывая предыдущий абзац, с уравнениями движения Ньютона в виде:
где , причём каждое подпространство даёт радиус-вектор соответствующей материальной точки:
а обобщённые импульсы — соответствующие компоненты трёхмерных импульсов этой точки:
Функция Гамильтона по сути представляет собой локальный закон дисперсии, выражающий квантовую частоту (частоту колебаний волновой функции) через волновой вектор для каждой точки пространства[2]:
В классическом приближении (при больших[3] частотах и модуле волнового вектора и сравнительно медленной зависимости от ) этот закон достаточно очевидно описывает движение волнового пакета через канонические уравнения Гамильтона, одни из которых () интерпретируются как формула групповой скорости, полученная из закона дисперсии, а другие () вполне естественно — как изменение (в частности — поворот) волнового вектора при распространении волны в неоднородной среде определённого типа.
Из принципа наименьшего (стационарного) действия уравнения Гамильтона непосредственно получаются варьированием действия
независимо по и по .
Мы можем вывести уравнения Гамильтона, используя информацию об изменении лагранжиана при изменении времени, координат и импульсов частиц.
обобщённые импульсы определяются как , и уравнения Лагранжа гласят:
где — непотенциальная обобщённая сила. Последнее выражение преобразуется к виду
и результат подставляется в вариацию лагранжиана
Можно записать:
и преобразуется к форме:
Множитель в левой части просто гамильтониан, который был определён раньше. Таким образом:
где второе равенство выполняется в силу определения частной производной.
Уравнения могут быть записаны в более общем виде, если использовать алгебру Пуассона над образующими и . В этом случае более общая форма уравнений Гамильтона гласит:
где , называемая классической наблюдаемой, — это некоторая функция переменных , и , и — гамильтониан системы. Со скобками Пуассона можно работать без обращения к дифференциальным уравнениям, поскольку скобки Пуассона полностью аналогичны скобкам Ли в алгебре Пуассона.
Этот алгебраический подход позволяет использовать распределение вероятностей для и , он также позволяет найти сохраняющиеся величины (интегралы движения).
Уравнения Гамильтона являются одними из основных уравнений классической механики. В квантовой механике аналогом приведенного уравнения Гамильтона является уравнение Гейзенберга.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.