Производная по времени

Производная по времени — производная функции по отношению к времени, обычно интерпретируемая как скорость изменения значения функции.^[1] Время обычно обозначается переменной ${\displaystyle t}$.

Обозначения

Для обозначения производной по времени используется несколько обозначений. В дополнение к обычной (лейбницкой) нотации,

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}}$

Очень часто, особенно в физике, используется сокращённая запись с точкой над переменной:

${\displaystyle {\dot {x}}}$

(так называемая ньютоновская нотация).

Высшие производные по времени обозначаются так:

${\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}}$

или в сокращённом виде: ${\displaystyle {\ddot {x}}}$.

В случае производных по времени более высоких порядков ньютоновская нотация, как правило, не используется.

В более общем случае, производная по времени от вектора:

${\displaystyle {\vec {V}}=\left[v_{1},\ v_{2},\ v_{3},\cdots \right]\ ,}$

определяется как вектор с составляющими, которые являются производными соответствующих компонент исходного вектора. То есть

${\displaystyle {\frac {d{\vec {V}}}{dt}}=\left[{\frac {dv_{1}}{dt}},{\frac {dv_{2}}{dt}},{\frac {dv_{3}}{dt}},\cdots \right]\ .}$

Применение в физике

Производные по времени являются одним из ключевых понятий в физике. Например, для радиус-вектора ${\displaystyle x}$, производная по времени ${\displaystyle {\dot {x}}}$ это его скорость, а вторая производная по времени ${\displaystyle {\ddot {x}}}$ это его ускорение. Третья производная по времени известна как рывок.

Большое число уравнений в физике является производной по времени от вектора, например скорости или смещения. Многие другие фундаментальные величины в науке соотносятся как производные по времени друг от друга:

• сила является производной по времени от импульса
• мощность является производной по времени от энергии
• Сила тока является производной по времени от электрического заряда

Применение в экономике

В экономике многие теоретические модели эволюции различных экономических переменных используют производные по времени.

Примечания

1. Chiang, Alpha C., Fundamental Methods of Mathematical Economics, McGraw-Hill, third edition, 1984, ch. 14, 15, 18.