Треугольное число

Треугольное число — один из классов фигурных многоугольных чисел, определяемый как число точек, которые могут быть расставлены в форме правильного треугольника. Как видно из рисунка, ${\displaystyle n}$-е треугольное число ${\displaystyle T_{n}}$ — это сумма ${\displaystyle n}$ первых натуральных чисел:

${\displaystyle {\begin{aligned}T_{1}&=1&=&\ 1\\T_{2}&=1+2&=&\ 3\\T_{3}&=1+2+3&=&\ 6\\T_{4}&=1+2+3+4&=&\ 10\\\end{aligned}}}$

и т. д. Общая формула для ${\displaystyle n}$-го по порядку треугольного числа:

${\displaystyle T_{n}={\frac {1}{2}}n(n+1),\;n=1,2,3\dots }$;

Последовательность треугольных чисел ${\displaystyle T_{n}}$ бесконечна. Она начинается так:

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120 … (последовательность A000217 в OEIS)

Часть источников начинает последовательность треугольных чисел с нуля, которому соответствует номер ${\displaystyle n=0.}$

Треугольные числа играют значительную роль в комбинаторике и теории чисел➤, они тесно связаны с многими другими классами целых чисел➤.

Свойства

Рекуррентная формула для n-го треугольного числа^[1]:

${\displaystyle T_{n}=T_{n-1}+n}$.

Разложение треугольного числа с нечётным номером.

Разложение треугольного числа с чётным номером

Следствия (${\displaystyle n>1}$)^[2][3]:

${\displaystyle T_{n+1}=T_{n-1}+2n+1}$.

${\displaystyle T_{n+1}+T_{n-1}=2T_{n}+1}$.

${\displaystyle T_{2n-1}=3T_{n-1}+T_{n}}$ (см. рисунок слева).

${\displaystyle T_{2n}=3T_{n}+T_{n-1}}$. (см. рисунок справа).

Ещё две формулы легко доказать по индукции^[4]:

${\displaystyle T_{m+n}=T_{m}+T_{n}+mn}$

${\displaystyle T_{mn}=T_{m}T_{n}+T_{m-1}T_{n-1}}$

Все треугольные числа, кроме 1 и 3, составные. Никакое треугольное число не может в десятичной записи заканчиваться цифрой^[2] ${\displaystyle 2,4,7,9.}$ Чётность элемента последовательности меняется с периодом 4: нечётное, нечётное, чётное, чётное.

Третья сбоку линия (диагональ) треугольника Паскаля состоит из треугольных чисел^[5].

Сумма конечного ряда треугольных чисел вычисляется по одной из формул^[6]:

${\displaystyle S_{m-1}=1+3+6+\dots +{\frac {(m-1)m}{2}}={\frac {m^{3}-m}{6}}}$

или:

${\displaystyle S_{m}=1+3+6+\dots +{\frac {m(m+1)}{2}}={\frac {m(m+1)(m+2)}{6}}}$

Ряд из чисел, обратных треугольным, сходится (см. Телескопический ряд):

${\displaystyle 1+{1 \over 3}+{1 \over 6}+{1 \over 10}+{1 \over 15}+\dots =2\sum _{n=1}^{\infty }\left({1 \over n}-{1 \over n+1}\right)=2}$

Восемь треугольных чисел и ещё одна точка образуют полный квадрат

Критерий треугольности числа

Натуральное число ${\displaystyle x}$ является треугольным тогда и только тогда, когда число ${\displaystyle 8x+1}$ является полным квадратом.

В самом деле, если ${\displaystyle x}$ треугольное, то ${\displaystyle 8x+1=8{\frac {n(n+1)}{2}}+1=4n^{2}+4n+1=(2n+1)^{2}.}$ Обратно, число ${\displaystyle 8x+1}$ нечётно, и если оно равно квадрату некоторого числа ${\displaystyle a,}$ то ${\displaystyle a}$ тоже нечётно: ${\displaystyle a=2n+1,}$ и мы получаем равенство: ${\displaystyle 8x+1=(2n+1)^{2}=4n^{2}+4n+1,}$ откуда: ${\displaystyle x={\frac {n(n+1)}{2}}}$ — треугольное число ■.

Следствие: номер числа ${\displaystyle x}$ в последовательности треугольных чисел определяется формулой:

${\displaystyle n={\frac {{\sqrt {8x+1}}-1}{2}}.}$

Применение

См. также: A000217

Треугольные числа возникают во многих практических ситуациях.

Как биномиальный коэффициент ${\displaystyle T_{n}=C_{n+1}^{2}}$ число ${\displaystyle T_{n}}$ определяет число сочетаний для выбора двух элементов из ${\displaystyle n+1}$ возможных.

Связи между объектами

Если ${\displaystyle n}$ объектов попарно соединить отрезками, то число отрезков (число рёбер полного графа) будет выражаться треугольным числом:

${\displaystyle T_{n-1}={\frac {n(n-1)}{2}}}$

Это видно из того, что каждый из ${\displaystyle n}$ объектов соединяется с остальными ${\displaystyle n-1}$ объектами, так что получается ${\displaystyle n(n-1)}$ соединений, однако при таком учёте каждое соединение засчитывается дважды (с двух разных концов), так что результат надо разделить пополам.

Аналогично максимальное количество рукопожатий для ${\displaystyle n}$ человек или количество шахматных партий в турнире с ${\displaystyle n}$ участниками равны ${\displaystyle T_{n-1}.}$ Из тех же соображений можно заключить, что число диагоналей в выпуклом многоугольнике с ${\displaystyle n}$ сторонами (n>3) равно:

${\displaystyle T_{n-2}-1={\frac {n(n-3)}{2}}}$

Разбиения круга секущими

Максимальное количество ${\displaystyle p}$ кусков, которое можно получить с помощью ${\displaystyle n}$ прямых разрезов пиццы (см. рисунок справа), равно ${\displaystyle T_{n}+1}$ (см. Центральные многоугольные числа, последовательность A000124 в OEIS).

Тетраксис в христианской мистике {Якоб Бёме, XVII век)

Известное в мистике «число зверя» (666) является 36-м треугольным^[7]. Оно является наименьшим треугольным числом, которое представимо в виде суммы квадратов треугольных чисел^[8]: ${\displaystyle 666=15^{2}+21^{2}.}$

Четвёртое треугольное число 10 (тетраксис) пифагорейцы считали священным, определяющим гармонию вселенной — в частности, соотношения музыкальных интервалов, смену времён года и движение планет^[9].

Связь с другими классами чисел

Любое ${\displaystyle k}$-угольное число ${\displaystyle P_{n}^{(k)}\;(k\geqslant 3,n>1)}$ может быть выражено через треугольные^[10]:

${\displaystyle P_{n}^{(k)}=n+(k-2){\frac {n(n-1)}{2}}=(k-3)T_{n-1}+T_{n}}$

Сумма двух последовательных треугольных чисел — это квадратное число (полный квадрат), то есть^[7]:

${\displaystyle T_{n-1}+T_{n}=n^{2}\;}$ (формула Теона Смирнского^[11].

Примеры:

6 + 10 = 16

10 + 15 = 25

Обобщением этой формулы является формула Никомаха — для любого ${\displaystyle k\geqslant 3}$ разность между ${\displaystyle (k+1)}$-угольным и ${\displaystyle k}$-угольным числами с одним и тем же номером есть треугольное число^[12]:

${\displaystyle P_{n}^{(k+1)}-P_{n}^{(k)}=T_{n-1}}$

Предыдущая формула получается при ${\displaystyle k=3.}$

Существует единственная пифагорова тройка, состоящая из треугольных чисел^[13]:

${\displaystyle \{T_{132},T_{143},T_{164}\}=\{8778,10296,13530\}.}$

Среди треугольных чисел существуют числа-палиндромы, то есть числа, которые одинаковы при чтении их слева направо и справа налево (последовательность A003098 в OEIS):

${\displaystyle 1,3,6,55,66,171,595,666,3003,5995,8778,\dots }$

Существует бесконечно много треугольных чисел, которые одновременно являются квадратными («квадратные треугольные числа»)^[14][15]: ${\displaystyle 1,36,1225,41616,1413721\dots }$ (последовательность A001110 в OEIS).

Треугольное число может также быть одновременно

• пятиугольным (последовательность A014979 в OEIS):

1, 210, 40755, 7906276, 1533776805, 297544793910, 57722156241751, 11197800766105800, 2172315626468283465…;

• шестиугольным (все треугольные числа с нечётным номером);
• семиугольным (последовательность A046194 в OEIS):

1, 21, 11781, 203841, 113123361, 1957283461, 1086210502741, 18793835590881, 10429793134197921, 180458407386358101…

и т. д. Неизвестно, существуют ли числа, одновременно треугольные, квадратные и пятиугольные; проверка на компьютере чисел, меньших ${\displaystyle 10^{22166},}$ не обнаружила ни одного подобного числа, однако не доказано, что таковых не существует^[16].

Четыре треугольных числа ${\displaystyle 1,3,15,4095}$ являются одновременно числами Мерсенна (последовательность A076046 в OEIS) (см. уравнение Рамануджана — Нагеля).

Пять чисел ${\displaystyle 1,10,120,1540,7140}$ (и только они) одновременно треугольные и тетраэдральные (последовательность A027568 в OEIS).

Четыре числа ${\displaystyle 1,55,91,208335}$ одновременно треугольные и квадратные пирамидальные (последовательность A039596 в OEIS).

Никакое натуральное число, кроме 1, не может быть одновременно^[17][18]:

• треугольным и кубическим;
• треугольным и биквадратным^[19];
• треугольным и пятой степенью целого числа^[17];

Каждое чётное совершенное число является треугольным^[20].

Любое натуральное число представимо в виде суммы не более трёх треугольных чисел. Утверждение впервые сформулировал в 1638 году Пьер Ферма в письме к Мерсенну без доказательства, впервые доказано в 1796 году Гауссом^[21].

Квадрат n-го треугольного числа является суммой кубов первых ${\displaystyle n}$ натуральных чисел^[22]. Следствие: разность квадратов двух последовательных треугольных чисел дает кубическое число. Например, ${\displaystyle 15^{2}-10^{2}=125=5^{3}.}$

Производящая функция

Степенной ряд, коэффициенты которого — треугольные числа, сходится при ${\displaystyle |x|<1}$:

${\displaystyle {\frac {x}{(1-x)^{3}}}=T_{1}x+T_{2}x^{2}+T_{3}x^{3}+\dots +T_{n}x^{n}+\dots }$

Выражение слева является производящей функцией для последовательности треугольных чисел^[23].

Вариации и обобщения

Вариацией треугольных чисел являются центрированные треугольные числа.

Понятие плоского треугольного числа можно обобщить на три и более измерений. Пространственным их аналогом служат тетраэдральные числа, а в произвольном ${\displaystyle d}$-мерном пространстве можно определить гипертетраэдральные числа^[24]:

${\displaystyle T_{n}^{[d]}={\frac {(n-1+d)!}{(n-1)!\ d!}}}$

Их частным случаем выступают:

• ${\displaystyle T_{n}^{[2]}}$ — треугольные числа.
• ${\displaystyle T_{n}^{[3]}}$ — тетраэдральные числа.
• ${\displaystyle T_{n}^{[4]}}$ — пентатопные числа.

Ещё одним обобщением треугольных чисел являются числа Стирлинга второго рода^[25]:

${\displaystyle T_{n}=S(n+1,n)}$

Примечания

1. Деза Е., Деза М., 2016, с. 16.
2. Villemin.
3. Деза Е., 2011, с. 24—25, 29.
4. Деза Е., 2011, с. 66.
5. Деза Е., Деза М., 2016, с. 188.
6. Деза Е., Деза М., 2016, с. 71.
7. Шамшурин А. В. Волшебная сила треугольных чисел  (рус.). Старт в науке. Дата обращения: 7 апреля 2021.
8. Деза Е., Деза М., 2016, с. 225.
9. Dimitra Karamanides (2005), Pythagoras: pioneering mathematician and musical theorist of Ancient Greece, The Rosen Publishing Group, p. 65, ISBN 9781404205000, Архивировано из оригинала 14 октября 2020, Дата обращения: 7 апреля 2021
10. Деза Е., Деза М., 2016, с. 15.
11. Деза Е., 2011, с. 23.
12. За страницами учебника математики, 1996, с. 50.
13. Деза Е., Деза М., 2016, с. 195.
14. There exist triangular numbers that are also square (англ.). cut-the-knot. Дата обращения: 7 апреля 2021. Архивировано 27 апреля 2006 года.
15. Деза Е., Деза М., 2016, с. 25—33.
16. Деза Е., Деза М., 2016, с. 34—37.
17. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers (англ.). Дата обращения: 9 марта 2021.
18. Деза Е., Деза М., 2016, с. 77—78.
19. Dickson, 2005, p. 8.
20. Voight, John. Perfect numbers: an elementary introduction // University of California, Berkley. — 1998. — С. 7. Архивировано 25 февраля 2017 года.
21. Деза Е., Деза М., 2016, с. 10.
22. Деза Е., Деза М., 2016, с. 79.
23. Деза Е., Деза М., 2016, с. 17—19.
24. Деза Е., Деза М., 2016, с. 126—134.
25. Деза Е., Деза М., 2016, с. 214—215.

Литература

• Виленкин Н. Я., Шибасов Л. П. Шибасова 3. Ф. За страницами учебника математики: Арифметика. Алгебра. Геометрия. — М.: Просвещение, 1996. — С. 30. — 320 с. — ISBN 5-09-006575-6.
• Глейзер Г. И. История математики в школе. — М.: Просвещение, 1964. — 376 с.
• Деза Е. Специальные числа натурального ряда: Учебное пособие.. — М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2011. — 240 с. — ISBN 978-5-397-01750-3.
• Деза Е., Деза М. Фигурные числа. — М.: МЦНМО, 2016. — 349 с. — ISBN 978-5-4439-2400-7.
• Dickson L. E. Polygonal. pyramidal and figurate numbers // History of the Theory of Numbers. — New York : Dover, 2005. — Vol. 2: Diophantine Analysis. — P. 22—23.

Ссылки

• Фигурные числа  (рус.). Издательская группа ОСНОВА.
• Villemin, Gérard. Nombres Triangulaires (фр.). Nombres — Curiosités, théorie et usages (2007).
• Weisstein, Eric W. Triangular Number (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.