Треугольная квантовая яма

Треуго́льная ква́нтовая я́ма — одномерная потенциальная яма, ограниченная с одной стороны бесконечно высокой потенциальной стенкой, а с другой — потенциалом, линейно растущим с увеличением координаты. Один из простых профилей потенциала в квантовой механике, допускающих точное решение задачи о нахождении уровней энергии и волновых функций находящейся в яме частицы. Модель треугольной ямы используется, в частности, при исследованиях систем с двумерным электронным газом.

Рис.1. Треугольная квантовая яма. Красным цветом показаны волновые функции для соответствующих значений энергии.

Модель потенциальной ямы

Одномерная треугольная потенциальная яма ограничена с одной стороны бесконечно высокой потенциальной стенкой (${\displaystyle U(x)\rightarrow +\infty }$ при ${\displaystyle -\infty <x\leqslant 0}$), а с другой — линейно растущим наклонным потенциалом ${\displaystyle 0<U\left(x\right)=Fx<+\infty }$ при ${\displaystyle 0<x<+\infty }$ (см. рис.1)^[1]. Такой вид потенциальной энергии ${\displaystyle U(x)}$ соответствует однородному полю, действующему на частицу с силой ${\displaystyle -F=dU/dx}$, не зависящей от координаты^[2]. Примерами таких полей являются однородное электрическое поле ${\displaystyle U\left(x\right)=qE_{el}x\geq 0}$ (${\displaystyle q}$ — заряд частицы, ${\displaystyle E_{el}}$ — напряженность электрического поля)^[3] и гравитационное поле тяжести ${\displaystyle U\left(x\right)=mgx}$ (${\displaystyle m}$ — масса частицы, ${\displaystyle g}$ —ускорение свободного падения)^[4].

Решение уравнения Шрёдингера

Уравнения Шрёдингера и граничные условия

Уравнение Шрёдингера для частицы в однородном поле имеет вид^[1][4][5]:

${\displaystyle {\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+{\frac {2m}{\hbar \;^{2}}}(E-Fx)\psi =0\,.}$

Граничные условия описывают абсолютно упругое отражение от потенциальной стенки при ${\displaystyle x=0}$^[4] и убывание решения в классически недоступной области ${\displaystyle Fx>E}$ при ${\displaystyle x\rightarrow +\infty }$^[1]:

${\displaystyle \psi (x=0)=0,\qquad \psi (x\rightarrow +\infty )\rightarrow 0\,.}$

Здесь ${\displaystyle m}$ — масса частицы, ${\displaystyle \hbar }$ — редуцированная постоянная Планка, ${\displaystyle E}$ и ${\displaystyle \psi }$ — искомые энергия и волновая функция частицы.

Замена переменной

Для упрощения дальнейшего рассмотрения вводится безразмерная переменная^[2]

${\displaystyle \xi =\alpha \left(x-{\frac {E}{F}}\right)\,,}$

где ${\displaystyle \alpha =\left({\frac {2mF}{\hbar \;^{2}}}\right)^{1/3}}$. При использовании новой переменной задача сводится к решению уравнения Эйри

${\displaystyle \psi ''(\xi )-\xi \psi (\xi )=0\,}$

с граничными условиями

${\displaystyle \psi \left(-\alpha {\frac {E}{F}}\right)=0,\quad \psi (\xi \rightarrow +\infty )\rightarrow 0\,.}$

Общее решение уравнения Шрёдингера

Общее решение уравнения Эйри имеет вид^[6]:

${\displaystyle \psi (\xi )=C\mathrm {Ai} (\xi )+D\mathrm {Bi} (\xi )\,,}$

где ${\displaystyle \mathrm {Ai} }$ и ${\displaystyle \mathrm {Bi} }$ — функции Эйри 1-го и 2-го рода имеют при больших ${\displaystyle \xi \rightarrow +\infty }$ следующие асимптотики^[7]

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Ai} \,(\xi )&{}\sim {\frac {e^{-{\frac {2}{3}}\xi ^{3/2}}}{2{\sqrt {\pi }}\,\xi ^{1/4}}}\,,\\\mathrm {Bi} \,(\xi )&{}\sim {\frac {e^{{\frac {2}{3}}\xi ^{3/2}}}{{\sqrt {\pi }}\,\xi ^{1/4}}}\,.\end{aligned}}}$

При отрицательных значениях ${\displaystyle \xi }$ функции Эйри осциллируют и имеют бесконечное число нулей. Из граничного условия на бесконечности ${\displaystyle \xi \rightarrow +\infty }$ и экспоненциального роста ${\displaystyle \mathrm {Bi} (\xi \rightarrow +\infty )}$ следует, что константа ${\displaystyle D=0}$ , то есть решение задачи следует искать в виде^[4]

${\displaystyle \psi (\xi )=C\mathrm {Ai} (\xi )\,.}$

Дискретные уровни энергии

Собственные значения энергии частицы ${\displaystyle E=E_{n}}$ (${\displaystyle n=1,\,\,2,..}$) в треугольной яме определяются из условия обращения в нуль волновой функции на границе бесконечной потенциальной стенки^[4]:

${\displaystyle \psi _{n}\left(\xi _{n}=-\alpha {\frac {E_{n}}{F}}\right)=C_{n}\mathrm {Ai} \left(-\alpha {\frac {E_{n}}{F}}\right)=0\,,}$

где ${\displaystyle \xi _{n}=-a_{n}}$ — нули функции Эйри. В результате находим дискретный спектр энергий^[1],

${\displaystyle E_{n}={\frac {Fa_{n}}{\alpha }}={\frac {\hbar ^{2}\alpha ^{2}a_{n}}{2m}}\,,}$

а соответствующая дискретному уровню ${\displaystyle E_{n}}$волновая функция имеет вид:

${\displaystyle {{\psi }_{n}}\left(x\right)=C_{n}\mathrm {Ai} \left(\alpha x-{{a}_{n}}\right)\,.}$

Для первых пяти нулей значения ${\displaystyle a_{n}}$ приближённо равны: ${\displaystyle a_{1}=2,338}$, ${\displaystyle a_{2}=4,088}$, ${\displaystyle a_{3}=5,521}$, ${\displaystyle a_{4}=6,787}$, ${\displaystyle a_{5}=7,944}$^[4]. При больших ${\displaystyle n\gg 1}$ нули функций Эйри определяются выражением^[8]:

${\displaystyle a_{n}\approx \left[{\frac {3\pi }{2}}\,\left(n-{\frac {1}{4}}\right)\right]^{2/3}\,.}$

Нормировка волновой функции

Значения констант ${\displaystyle C_{n}}$ находятся из условия нормировки^[9]

${\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }{dx}{{\left|\psi _{n}\left(x\right)\right|}^{2}}=1\,.}$

Вычисляя интеграл от квадрата волновой функции, которая вещественна^[10],

${\displaystyle {\begin{aligned}&C_{n}^{2}{{\alpha }^{-1}}\int \limits _{-{{a}_{n}}}^{\infty }{d\xi }\mathrm {Ai} ^{2}\left(\xi \right)=\\&C_{n}^{2}{{\alpha }^{-1}}\left[\xi \mathrm {Ai} ^{2}\left(\xi \right)-{{\left(\mathrm {Ai} '\left(\xi \right)\right)}^{2}}\right]_{\xi =-{{a}_{n}}}^{\infty }=\\&C_{n}^{2}{{\alpha }^{-1}}{{\left(\mathrm {Ai} '\left(-{{a}_{n}}\right)\right)}^{2}}=1,\\\end{aligned}}}$

находим нормировочные константы, которые зависят от номера квантового уровня:

${\displaystyle {{C}_{n}}={\frac {{\alpha }^{1/2}}{\mathrm {Ai} '\left(-{{a}_{n}}\right)}}\,,}$

где ${\displaystyle \mathrm {Ai} '(\xi )}$ — производная функции Эйри.

Функции ${\displaystyle \psi _{n}(x)}$ ортогональны. В этом можно убедиться, вычислив интеграл от произведения волновых функций, принадлежащих разным квантовым состояниям ${\displaystyle n\neq m}$^[11]:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{{C}_{n}}{{C}_{m}}\int \limits _{0}^{\infty }{dx}\mathrm {Ai} \left(\alpha x-{{a}_{n}}\right)\mathrm {Ai} \left(\alpha x-{{a}_{m}}\right)=\\&{\frac {{{C}_{n}}{{C}_{m}}}{\alpha \left({{a}_{m}}-{{a}_{n}}\right)}}\left[\mathrm {Ai} '\left(\alpha x-{{a}_{n}}\right)\mathrm {Ai} \left(\alpha x-{{a}_{m}}\right)-\right.\\&\left.\mathrm {Ai} \left(\alpha x-{{a}_{n}}\right)\mathrm {Ai} '\left(\alpha x-{{a}_{m}}\right)\right]_{x=0}^{\infty }=0.\\\end{aligned}}}$

Ширина потенциальной ямы

Для рассматриваемой ямы волновые функции экспоненциально убывают ${\displaystyle \mathrm {Ai} \left(\alpha x-a_{n}\right)\sim {{x}^{-1/4}}\exp \left(-2{{(\alpha x)}^{3/2}}/3\right)}$ при ${\displaystyle x\rightarrow +\infty }$ и отличны от нуля при сколь угодно больших расстояниях ${\displaystyle x}$. Ширина классически доступной (${\displaystyle E_{n}>U(x)}$) области находится из условия

${\displaystyle U(x_{n})=Fx_{n}=E_{n}}$

и составляет^[4]

${\displaystyle x_{n}={\frac {a_{n}}{\alpha }}.}$

Значения ${\displaystyle x_{n}}$ схематически показаны на рисунке 1.

Применение результатов

Рис. 2. Зонная диаграмма гетероперехода двух полупроводников.

Задача об энергетическом спектре магнитных поверхностных уровней электронов приближённо сводится к модели треугольной потенциальной ямы. На малых расстояниях от поверхности проводника и в слабом магнитном поле в уравнении Шрёдингера можно пренебречь слагаемыми, квадратичными по векторному потенциалу, и эффективный потенциал ямы линейно зависит от расстояния от поверхности, которая описывается бесконечной стенкой^[12].

Модель треугольной ямы используется при исследованиях двумерного электронного газа в инверсных слоях у границ раздела диэлектрик—полупроводник и границ двух разных полупроводников. Хотя в таких системах профиль зоны проводимости в полупроводнике сложнее, чем линейный, а разрыв зоны проводимости на гетерогранице не является бесконечным (см. рис.2), непосредственно вблизи этой границы яма приближённо считается треугольной, а разрыв зоны достаточно большим^[13].

См. также

• Квантовое движение в электрическом поле
• Прямоугольная квантовая яма
• Осцилляции Зенера — Блоха
• Квантовый осциллятор
• Магнитные поверхностные уровни

Примечания

1. Галицкий В. М. Задачи по квантовой механике: Учебное пособие для вузов. — 3-е издание, исправленное и дополненное. — М.,: Едиториал УРСС, 2001. — С. 33. — 304 с. — ISBN 5-354-00002-5.
2. Ландау, Лифшиц, 1989, Глава III. Параграф 25. Движение в однородном поле..
3. Неверов В. Н., Титов А. Н. Часть 1. Глава 1. 1.4. Типы низкоразмерных систем. // Физика низкоразмерных систем. — Екатеринбург: Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный университет им. А. М. Горького», 2008. — С. 17. — 232 с.
4. З. Флюгге. Задача 40. Свободное падение вблизи земной поверхности // Задачи по квантовой механике (рус.) / под ред. А. А. Соколова. — Москва: Мир, 1974. — Т. 1. — С. 100. — 340 с. Архивировано 4 мая 2021 года.
5. Ландау, Лифшиц, 1989, Глава III. Параграф 25. Движение в однородном поле, с. 100.
6. Airy Differential Equation (англ.). Wolfram MathWord. Wolfram. Дата обращения: 12 марта 2023. Архивировано 12 марта 2023 года.
7. Vallee, Soares, 2004, Part 2.1.4.3. Asymptotic series of Ai and Bi.
8. Справочник по специальным функциям с формулами графиками и математическими таблицами (рус.) / Под редакцией М. Абрамовица и И. Стиган. — М.,: Наука, 1979. — С. 268. — 872 с. Архивировано 8 ноября 2024 года.
9. Ландау, Лифшиц, 1989, Глава 1. Основные понятия квантовой механики..
10. Vallee, Soares, 2004, Part 8. Applications to Quantum Physics.
11. Vallee, Soares, 2004, Part 3. Primitives and Integrals of Airy Functions.
12. Prange R. E. Three Geometrical Modifications of the Surface-Impedance Experiment in Low Magnetic Fields (англ.) // Physical Review. — 1968. — Vol. 171, no. 3. — P. 737—742. — doi:10.1103/PhysRev.171.737.
13. Андо Т., Фаулер А, Стерн Ф. Электронные свойства двумерных систем. Пер. с англ. — М.: Мир, 1985. — 416 с.

Литература

• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория (рус.). — Москва: Наука, 1989. — С. 112. — 768 с. — ISBN 5-02-014421-5.
• Olivier Vallee, Manuel Soares. Airy functions and applications to physics (англ.). — London: Imperial College Press, 2004. — 194 p. — ISBN 1-86094-478-7.