Ускорение свободного падения

Для термина «Ускорение» см. также другие значения.

Ускоре́ние свобо́дного паде́ния (ускоре́ние си́лы тя́жести^[1]) — ускорение, придаваемое телу силой тяжести в данной точке гравитационного поля (или, иными словами, ускорение тела при свободном падении), при исключении из рассмотрения других сил.

Ускорение свободного падения на поверхности^[a] некоторых небесных тел, м/с² и g

Земля	9,81 м/с²	1,00 g	Солнце	273,1 м/с²	27,85 g
Луна	1,62 м/с²	0,165 g	Меркурий	3,70 м/с²	0,378 g
Венера	8,88 м/с²	0,906 g	Марс	3,86 м/с²	0,394 g
Юпитер	24,79 м/с²	2,528 g	Сатурн	10,44 м/с²	1,065 g
Уран	8,86 м/с²	0,903 g	Нептун	11,09 м/с²	1,131 g
Эрида	0,82 ± 0,02 м/с²	0,084 ± 0,002 g	Плутон	0,617 м/с²	0,063 g

В соответствии с уравнением движения тел в неинерциальных системах отсчёта^[2] ускорение свободного падения численно равно силе тяжести, воздействующей на объект единичной массы.

Ускорение свободного падения на поверхности Земли g (обычно произносится как «же») варьируется от 9,780 м/с² на экваторе до 9,82 м/с² на полюсах^[3]. Стандартное («нормальное») значение, принятое при построении систем единиц, составляет 9,80665 м/с²^[4][5]. Стандартное значение g было определено как «среднее» в каком-то смысле на всей Земле: оно примерно равно ускорению свободного падения на широте 45,5° на уровне моря. В приблизительных расчётах его обычно округляют до 9,81, 9,8 или даже до 10 м/с².

Физическая сущность

Две компоненты ускорения свободного падения на Земле g: гравитационная (в приближении сферически симметричной зависимости плотности от расстояния от центра Земли) равна GM/r² и центробежная, равная ω²a, где a — расстояние до земной оси, ω — угловая скорость вращения Земли

Для определённости будем считать, что речь идёт о свободном падении на Земле. Эту величину можно представить как векторную сумму двух слагаемых: гравитационного ускорения, вызванного земным притяжением, и центробежного ускорения, связанного с вращением Земли.

Центробежное ускорение

Центробежное ускорение является следствием вращения Земли вокруг своей оси. Именно центробежное ускорение, вызванное вращением Земли вокруг своей оси, вносит наибольший вклад в неинерциальность системы отсчёта, связанную с Землёй. В точке, находящейся на расстоянии a от оси вращения, оно равно ω²a, где ω — угловая скорость вращения Земли, определяемая как ω = 2π/T, а Т — время одного оборота вокруг своей оси, для Земли примерно равное 86164 секундам (звёздные сутки). Центробежное ускорение направлено по нормали к оси вращения Земли. На экваторе оно составляет 3,39636 см/с², причём на других широтах направление вектора его не совпадает с направлением вектора гравитационного ускорения, направленного к центру Земли.

Гравитационное ускорение

Гравитационное ускорение на различной высоте h над уровнем моря

h, км	g, м/с²	h, км	g, м/с²
0	9,8066	20	9,7452
1	9,8036	50	9,6542
2	9,8005	80	9,5644
3	9,7974	100	9,505
4	9,7943	120	9,447
5	9,7912	500	8,45
6	9,7882	1000	7,36
8	9,7820	10 000	1,50
10	9,7759	50 000	0,125
15	9,7605	400 000	0,0025

В соответствии с законом всемирного тяготения, величина гравитационного ускорения на поверхности Земли или космического тела связана с его массой M следующим соотношением:

${\displaystyle g=G{\frac {M}{r^{2}}}}$,

где G — гравитационная постоянная (6,67430(15) · 10⁻¹¹ м³·с⁻²·кг⁻¹)^[6], а r — радиус планеты. Это соотношение справедливо в предположении, что плотность вещества планеты сферически симметрична. Приведённое соотношение позволяет определить массу любого космического тела, включая Землю, зная её радиус и гравитационное ускорение на её поверхности, либо, наоборот, по известной массе и радиусу определить ускорение свободного падения на поверхности.

Исторически масса Земли была впервые определена Генри Кавендишем, который провёл первые измерения гравитационной постоянной.

Гравитационное ускорение на высоте h над поверхностью Земли (или иного космического тела) можно вычислить по формуле:

${\displaystyle g(h)={\frac {GM}{(r+h)^{2}}}}$,

где M — масса планеты.

Ускорение свободного падения на Земле

Ускорение свободного падения у поверхности Земли зависит от широты. Приблизительно оно может быть вычислено (в м/с²) по эмпирической формуле^[7][8]:

${\displaystyle g=9{,}780318(1+0{,}005302\sin ^{2}\varphi -0{,}000006\sin ^{2}2\varphi )-0{,}000003086h,}$

где ${\displaystyle \varphi }$ — широта рассматриваемого места,

${\displaystyle h}$ — высота над уровнем моря в метрах.

Полученное значение лишь приблизительно совпадает с ускорением свободного падения в данном месте. При более точных расчётах необходимо использовать одну из моделей гравитационного поля Земли^{[англ.][9]}, дополнив её поправками, связанными с вращением Земли, приливными воздействиями. На ускорение свободного падения влияют и другие факторы, например, атмосферное давление, которое меняется в течение суток: от атмосферного давления зависит плотность воздуха в большом объёме, а следовательно и результирующая сила тяжести, изменение которой могут зафиксировать высокочувствительные гравиметры^[10].

Пространственные изменения гравитационного поля Земли (гравитационные аномалии) связаны с неоднородности плотности в её недрах, что может быть использовано для поиска залежей полезных ископаемых методами гравиразведки.

Почти везде ускорение свободного падения на экваторе ниже, чем на полюсах, за счёт центробежных сил, возникающих при вращении планеты, а также потому, что радиус r на полюсах меньше, чем на экваторе из-за сплюснутой формы планеты. Однако места экстремально низкого и высокого значения g несколько отличаются от теоретических показателей по этой модели. Так, самое низкое значение g (9,7639 м/с²) зафиксировано на горе Уаскаран в Перу в 1000 км южнее экватора, а самое большое (9,8337 м/с²) — в 100 км от Северного полюса^[11].

Ускорение свободного падения для некоторых городов
Город	Долгота	Широта	Высота над уровнем моря, м	Ускорение свободного падения, м/с²
Алма-Ата	76,85 в.д.	43,22 с.ш.	786	9,78125
Берлин	13,40 в.д.	52,50 с.ш.	40	9,81280
Будапешт	19,06 в.д.	47,48 с.ш.	108	9,80852
Вашингтон	77,01 з.д.	38,89 с.ш.	14	9,80188
Вена	16,36 в.д.	48,21 с.ш.	183	9,80860
Владивосток	131,53 в.д.	43,06 с.ш.	50	9,80424
Гринвич	0,0 в.д.	51,48 с.ш.	48	9,81188
Каир	31,28 в.д.	30,07 с.ш.	30	9,79317
Киев	30,30 в.д.	50,27 с.ш.	179	9,81054
Мадрид	3,69 в.д.	40,41 с.ш.	667	9,79981
Минск	27,55 в.д.	53,92 с.ш.	220	9,81347
Москва	37,61 в.д.	55,75 с.ш.	151	9,8154
Нью-Йорк	73,96 з.д.	40,81 с.ш.	38	9,80247
Одесса	30,73 в.д.	46,47 с.ш.	54	9.80735
Осло	10,72 в.д.	59,91 с.ш.	28	9,81927
Париж	2,34 в.д.	48,84 с.ш.	61	9,80943
Прага	14,39 в.д.	50,09 с.ш.	297	9,81014
Рим	12,99 в.д.	41,54 с.ш.	37	9,80312
Стокгольм	18,06 в.д.	59,34 с.ш.	45	9,81843
Токио	139,80 в.д.	35,71 с.ш.	18	9,79801

Измерение

Основная статья: Гравиметрия (геодезия)

Ускорение свободного падения у поверхности Земли может быть измерено посредством гравиметра. Различают две разновидности гравиметров: абсолютные и относительные. Абсолютные гравиметры измеряют ускорение свободного падения непосредственно. Относительные гравиметры, некоторые модели которых действуют по принципу пружинных весов, определяют приращение ускорения свободного падения относительно значения в некотором исходном пункте.

Ускорение свободного падения на поверхности Земли или другой планеты может быть также вычислено на основе данных о вращении планеты и её гравитационном поле. Последнее может быть определено посредством наблюдения за орбитами спутников и движения других небесных тел вблизи рассматриваемой планеты.

См. также

• Гравиразведка
• Перегрузка (летательные аппараты)

Комментарии

1. У планет газовых гигантов и звёзд «поверхность» понимается как область меньших высот в атмосфере, где давление равно атмосферному давлению на Земле на уровне моря (1,013×10⁵ Па). Также у звёзд поверхностью иногда считают поверхность фотосферы.