Loading AI tools
Из Википедии, свободной энциклопедии
Теория потенциала — раздел математики и математической физики, посвящённый изучению свойств дифференциальных уравнений в частных производных в областях с достаточно гладкой границей посредством введения специальных видов интегралов, зависящих от определённых параметров, называемых потенциалами.
Абстрактная теория потенциала — обобщение теории потенциала на абстрактные топологические пространства[1]; в качестве основного абстрактной теории используется понятие гармонического пространства — произвольного топологического пространства, снабжённого пучком непрерывных вещественных функций, обладающих (зафиксированными аксиоматически) свойствами, характерными для гармонических функций[1].
Изначально возникла как часть небесной механики, изучающая свойства сил притяжения, действующих согласно закону всемирного тяготения. Основной вклад в создание и первоначальное развитие теории внесли Ньютон, Лагранж, Лежандр, Лаплас. В частности, Лагранж показал, что поле сил тяготения является потенциальным.
Начиная с Гаусса метод потенциалов начал применяться также для задач электростатики и магнетизма, в качестве потенциалов стали рассматриваться «массы» (заряды, намагниченность) произвольного знака. В рамках развития теории в XIX веке выделились основные краевые задачи: задача Дирихле, задача Неймана, задача Робена, задача о выметании масс, значительный вклад в изучение основных краевых задач в конце XIX века внесли Ляпунов и Стеклов.
Результаты теории существенно обобщены в начале XX века с использованием аппарата теории меры и обобщённых функций. Впоследствии в теории потенциалов задействованы аналитические, гармонические и субгармонические функции, инструментарий теорией вероятностей.
В 1950-е годы на основе методов топологии и функционального анализа разработана аксиоматическая абстрактная теория потенциалов.
На плоскости объёмным логарифмическим потенциалом (или потенциалом площади) называется интеграл вида
Если плотность непрерывна вместе со своими первыми производными, то объёмный потенциал является классическим решением уравнения Пуассона:
В двумерном случае потенциалом простого слоя называется интеграл:
где — некоторая кривая.
Потенциалом двойного слоя на плоскости называется интеграл:
где — внешняя нормаль к кривой в точке . В случае незамкнутой кривой направление внешней нормали выбирается произвольно.
Пусть в ограниченной области задана функция , интеграл
называется объёмным потенциалом.
Функция представляет собой, определённый во всех точках потенциал единичного точечного заряда, сосредоточенного в точке . Если в области непрерывно распределён заряд с объёмной плотностью , то в силу принципа суперпозиции естественно предполагать, что потенциал, создаваемый данным распределением объёмного заряда, выражается вышеприведённым интегралом. Функция называется плотностью потенциала.
Если плотность непрерывна вместе со своими первыми производными, то объёмный потенциал является классическим решением уравнения Пуассона:
Потенциалом простого слоя в трёхмерном случае называется интеграл
где — некоторая поверхность, — функция, заданная на поверхности , она называется плотностью потенциала простого слоя.
Свойства:
Потенциалом двойного слоя в трёхмерном случае называется интеграл:
где — двусторонняя поверхность, — внешняя нормаль к поверхности в точке (в том случае, когда поверхность незамкнута, внешняя нормаль выбирается произвольно), — функция, заданная на поверхности , она называется плотностью потенциала двойного слоя.
Выражение для потенциала двойного слоя также может быть переписано в виде:
где — угол между внутренней нормалью к поверхности в точке и вектором .
Свойства:
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.