![cover image](https://wikiwandv2-19431.kxcdn.com/_next/image?url=https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/45/Components_stress_tensor.svg/langru-640px-Components_stress_tensor.svg.png&w=640&q=50)
Тензор
понятие в математике и физике / Материал из Википедии — свободной encyclopedia
Уважаемый Wikiwand AI, давайте упростим задачу, просто ответив на эти ключевые вопросы:
Перечислите основные факты и статистические данные о Тензор?
Кратко изложите эту статью для 10-летнего ребёнка
Те́нзор (от лат. tensus, «напряжённый») — применяемый в математике и физике математический объект линейной алгебры, заданный на векторном пространстве конечной размерности
.
![Thumb image](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/45/Components_stress_tensor.svg/320px-Components_stress_tensor.svg.png)
Понятие возникло в связи с вопросом, какие напряжения возникают в неровном (произвольной формы) теле, к которому прикладывается линейная сила; ответ потребовал введения сложного математического объекта для каждой рассматриваемой точки неровного тела — некоего набора величин, не меняющихся при изменении точки отсчёта.
В физике в качестве обычно выступает физическое трёхмерное пространство или четырёхмерное пространство-время, а компонентами тензора являются координаты взаимосвязанных физических величин.
Использование тензоров в физике позволяет глубже понять физические законы и уравнения, упростить их запись за счёт сведения многих связанных физических величин в один тензор, а также записывать уравнения в форме, не зависящей от выбранной системы отсчета.
Тензоры различаются по типу, который определяется парой натуральных чисел , где
— контравариантный, а
— ковариантный ранг (и говорят
раз контравариантный и
раз ковариантный тензор), а сумма
называется просто рангом тензора.
Тензоры типа — это векторы линейного пространства, полилинейно связанного с пространством
и обозначаемого
или
. Размерность
равна числу компонент тензора, а сами компоненты представляют собой координаты тензора в
в базисе, «привязанном» к базису пространства
. Ранг тензора вместе с размерностью пространства
определяют количество компонент тензора
, а ковариантный и контравариантный ранг — характер их зависимости от базиса в пространстве
.
Именно полилинейная связь между и
позволяет идентифицировать векторы из
как тензоры на
, а не просто векторы некоторого пространства, так как при замене базиса в
также меняется базис в
и координаты тензора как вектора этого пространства. Поэтому говорят о координатном представлении тензора в базисе пространства
. Несмотря на изменения компонент тензора при смене базиса, тензоры, как алгебраические и геометрические объекты, от базиса не зависят — одному и тому же объекту могут соответствовать разные наборы координат в разных базисах.
Компоненты тензора при фиксированном базисе можно структурировать в виде
-мерной таблицы
. При ранге 0 таблица представляет собой одно число, при ранге 1 — упорядоченный набор (вектор-столбец или вектор-строка), при ранге 2 — квадратную матрицу, при ранге 3 — трёхмерный куб и т. д. В общем случае визуальное представление для больших рангов затруднительно.
Таким образом, тензоры типа (1,0) — это векторы пространства , (0,1) — линейные функционалы (ковекторы) на
, образующие сопряжённое пространство
той же размерности. Тензоры 2 ранга — это тензоры типа (0,2) (билинейные формы), (1,1) (линейные операторы) и (2,0) (диады). К тензорам (ранга 0) относятся также скаляры — элементы поля, на котором задано пространство
(обычно это действительные или комплексные числа). Скаляры не изменяются (инвариантны) при смене базиса.
Компоненты тензора типа записываются с помощью
верхних (контравариантных) и
нижних (ковариантных) индексов:
. Например, векторы в тензорном обозначении записываются с одним верхним индексом
, линейные операторы — с нижним и верхним индексами:
, билинейные формы (дважды ковариантные тензоры) — с двумя нижними индексами
. Тензор типа
(например, тензор кривизны Римана) будет записан как
.
В приложениях часто применяются тензорные поля, которые сопоставляют различным точкам пространства разные тензоры (например, тензор напряжений внутри объекта). Тем не менее, часто их упрощённо тоже называют тензорами.
Тензоры были популяризованы в 1900 году Туллио Леви-Чивита и Грегорио Риччи-Курбастро, которые продолжили более ранние работы Бернхарда Римана и Элвина Бруно Кристоффеля. Слово «тензор» придумал немецкий физик В. Фогт в 1898 году[1].