Loading AI tools
Из Википедии, свободной энциклопедии
Статистика Фе́рми — Дира́ка — квантовая статистика, применяемая к системам тождественных фермионов (частиц с полуцелым спином, подчиняющихся принципу Паули: одно квантовое состояние не может быть занято более чем одной частицей). Определяет вероятность, с которой данный энергетический уровень системы, находящейся в термодинамическом равновесии, оказывается занятым фермионом.
В статистике Ферми — Дирака среднее число частиц с энергией есть
где — кратность вырождения (число состояний частицы с энергией ), — химический потенциал, — постоянная Больцмана, — абсолютная температура.
В идеальном ферми-газе при низких температурах равен энергии Ферми . В этом случае, если , выражение для числа (доли) заполнения уровней частицами называется функцией Ферми:
Указанная статистика предложена в 1926 году итальянским физиком Энрико Ферми и одновременно английским физиком Полем Дираком, который выяснил её квантово-механический смысл. В 1927 статистика была применена Арнольдом Зоммерфельдом к электронам в металле.
Функция Ферми — Дирака обладает следующими свойствами:
Функцией Ферми — Дирака задаются числа заполнения (англ. occupancy factor) квантовых состояний. Хотя она нередко называется «распределением», с точки зрения аппарата теории вероятностей она не является ни функцией распределения, ни плотностью распределения. В отношении этой функции, скажем, не может ставиться вопрос о нормировке.
Давая информацию о проценте заполненности состояний, функция ничего не говорит о наличии этих состояний. Для систем с дискретными энергиями набор их возможных значений задаётся перечнем , и т.д., а для систем с непрерывным спектром энергий состояния характеризуются «плотностью состояний» (Дж−1 или Дж−1м−3). Функция
является плотностью распределения (Дж−1) частиц по энергии и нормирована. Для краткости, аргумент опущен. В наиболее традиционных случаях .
При высоких температурах и/или низких концентрациях частиц статистика Ферми — Дирака (равно как и статистика Бозе — Эйнштейна) переходят в статистику Максвелла — Больцмана. А именно, в таких условиях
После подстановки плотности состояний и интегрирования по от 0 до выражение для примет вид
Это и есть плотность распределения Максвелла (по энергиям).
Распределением Максвелла (особенно хорошо работающим применительно к газам) описываются классические «различимые» частицы. Другими словами, конфигурации «частица в состоянии 1 и частица в состоянии 2» и «частица в состоянии 1 и частица в состоянии 2» считаются разными.
Статистики Ферми — Дирака, а также Бозе — Эйнштейна применяются в тех случаях, когда необходимо учитывать квантовые эффекты и «неразличимость» частиц. В парадигме различимости оказалось, что распределение частиц по энергетическим состояниям приводит к нефизическим результатам для энтропии, что известно как парадокс Гиббса. Эта проблема исчезла, когда стал ясен тот факт, что все частицы неразличимы.
Статистика Ферми — Дирака относится к фермионам (частицы, на которые действует принцип Паули), а статистика Бозе — Эйнштейна — к бозонам. Квантовые эффекты проявляются тогда, когда концентрация частиц (где — число частиц, — объём, — квантовая концентрация). Квантовой называется концентрация, при которой расстояние между частицами соразмерно с длиной волны де Бройля, то есть волновые функции частиц соприкасаются, но не перекрываются. Квантовая концентрация зависит от температуры.
Статистика Ферми — Дирака часто используется для описания поведения ансамбля электронов в твёрдых телах; на ней базируются многие положения теории полупроводников и электроники в целом. Например, концентрация электронов (дырок) в зоне проводимости (валентной зоне) полупроводника в равновесии рассчитывается как
где () — энергия дна зоны проводимости (потолка валентной зоны). Формула для туннельного тока между двумя областями, разделёнными квантовым потенциальным барьером, имеет общий вид
где — коэффициент прозрачности барьера, а , — функции Ферми — Дирака в областях слева и справа от барьера.
Рассмотрим термодинамическую систему, состоящую из фермионов, находящихся на одном квантовом уровне. С учётом общих свойств фермионов как типа частиц, возможны лишь два варианта: наличие ровно одной частицы на обсуждаемом уровне или незанятость уровня.
Варианты различаются числом частиц — и поэтому для описания вероятностей , их реализации нужно привлечь распределение Гиббса с переменным числом частиц:
где — число частиц, равное 1 в состоянии yes и 0 в состоянии no, а энергия состояния равна энергии уровня при наличии (yes) и 0 при отсутствии (no) фермиона; — нормировочный множитель, подбираемый так, чтобы оказалось .
Следовательно,
Смысл этого результата как раз и состоит в том, что рассматриваемый уровень заполнен с вероятностью (то есть «на долю») . Выражение переобозначается как , что и соответствует статистике Ферми — Дирака. При наличии вырождения оно домножается на фактор вырождения , как констатировалось в преамбуле.
Для систем, имеющих температуру ниже температуры Ферми , а иногда (не вполне правомерно) и для более высоких температур используется аппроксимация . Но в общем случае химический потенциал зависит от температуры — и в ряде задач эту зависимость целесообразно учитывать. Функция представляется с любой точностью степенным рядом по чётным степеням отношения :
Числа заполнения состояний, диктуемые формулой Ферми — Дирака, изменяются при отклонении системы от равновесия. Подобное отклонение возникает, в частности, при наложении электрического поля. Тем не менее некоторые из приведённых выше выражений, например для концентраций электронов и дырок , или для туннельного тока, при этом сохраняют свою структуру, только функция становится иной.
Искажения в значительной доле случаев таковы, как если бы температура равнялась не , а некоему эффективному более высокому значению , из-за чего говорят о горячих носителях заряда. При радикальных отклонениях от равновесия (например, в очень сильных полях, около В/см и выше) аналитический вид модифицируется более радикально, при этом резко возрастают числа заполнения (населённость) высокоэнергетичных состояний, а кривая деформируется. Такого рода ситуации возникают в полупроводниковых приборах в режимах близких к пробойным.
![]() | В статье не хватает ссылок на источники (см. рекомендации по поиску). |
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.