Волна де Бройля

Волна́ де Бро́йля — волна вероятности (или волна амплитуды вероятности^[1]), определяющая плотность вероятности обнаружения объекта в заданном интервале конфигурационного пространства. В соответствии с принятой терминологией говорят, что волны де Бройля связаны с любыми частицами и отражают их волновую природу.

Идея о волнах, связанных не только с квантами света, но и массивными частицами, предложена Луи де Бройлем в 1923—1924 годах^[2] и называется гипотезой де Бройля. Хотя трактовка квадрата модуля амплитуды волны как плотности вероятности в конфигурационном пространстве принадлежит Максу Борну^[3], по традиции и в знак признания заслуг французского физика говорят о волнах де Бройля.

Идея волн де Бройля полезна для приблизительных выводов о масштабах проявления волновых свойств частиц, но не отражает всей физической реальности и потому не лежит в основе математического аппарата квантовой механики. Вместо дебройлевских волн эту роль в квантовой механике выполняет волновая функция, а в квантовой теории поля — полевые операторы.

Корпускулярно-волновой дуализм фотонов и массивных частиц

Физика атомов, молекул и их коллективов, в частности кристаллов, а также атомных ядер и элементарных частиц изучается в квантовой механике. Квантовые эффекты являются существенными, если характерное значение действия (произведение характерной энергии на характерное время или характерного импульса на характерное расстояние) становится сравнимым с ${\displaystyle \hbar }$ (постоянная Планка). Если частицы движутся со скоростями много меньше, чем скорость света в вакууме ${\displaystyle c}$, то применяется нерелятивистская квантовая механика; при скоростях, близких к ${\displaystyle c}$, — релятивистская квантовая механика.

В основе квантовой механики лежат представления Планка о дискретном характере изменения энергии атомов, Эйнштейна о фотонах, данные о квантованности некоторых физических величин (например, импульса и энергии), характеризующих в определённых условиях состояния частиц микромира. В то же время было твёрдо установлено, что свет проявляет свойства не только потока частиц, но и волны, то есть обладает корпускулярно-волновым дуализмом.

Де Бройль выдвинул идею о том, что волновой характер распространения, установленный для фотонов, имеет универсальный характер. Он должен проявляться для любых частиц, обладающих импульсом ${\displaystyle p}$. Все частицы, имеющие конечный импульс ${\displaystyle p}$, обладают волновыми свойствами, в частности, подвержены интерференции и дифракции^[4].

Природа волн де Бройля

Волны де Бройля имеют специфическую природу, не имеющую аналогии среди волн, изучаемых в классической физике: квадрат амплитуды волны де Бройля в данной точке является мерой вероятности того, что частица обнаруживается в этой точке. Дифракционные картины, которые наблюдаются в опытах, являются проявлением статистической закономерности, согласно которой частицы попадают в определённые места в приёмниках — туда, где интенсивность волны де Бройля оказывается наибольшей. Частицы не обнаруживаются в тех местах, где, согласно статистической интерпретации, квадрат модуля амплитуды «волны вероятности» обращается в нуль.

Почтовая марка Никарагуа 1971 года и её оборот. Закон де Бройля (движение частиц вещества)

Формулы де Бройля

Формула де Бройля устанавливает зависимость длины волны ${\displaystyle \lambda }$, связанной с движущейся частицей вещества, от импульса ${\displaystyle p}$ частицы, а полной энергии ${\displaystyle E}$ — от частоты ${\displaystyle \nu }$, в виде релятивистски инвариантных соотношений:

${\displaystyle \lambda ={\frac {h}{p}},}$

${\displaystyle E=h\nu ,}$

где ${\displaystyle h}$ — постоянная Планка.

Другой вид формул де Бройля:

${\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {h}{2\pi }}\mathbf {k} =\hbar \mathbf {k} ,}$

${\displaystyle E=\hbar \omega ,}$

где ${\displaystyle \mathbf {k} ={\frac {2\pi }{\lambda }}\mathbf {n} }$ — волновой вектор, модуль которого ${\displaystyle k={\frac {2\pi }{\lambda }}}$ — волновое число — есть число длин волн, укладывающихся на ${\displaystyle 2\pi }$ единицах длины, ${\displaystyle \omega =2\pi \nu }$ — циклическая частота, ${\displaystyle \mathbf {n} }$ — единичный вектор в направлении распространения волны, ${\displaystyle \hbar ={\frac {h}{2\pi }}\approx 1{,}05\cdot 10^{-34}}$ Дж·с.

Полная энергия ${\displaystyle E=E_{K}+m_{0}c^{2}}$ включает кинетическую энергию ${\displaystyle E_{K}}$ и энергию покоя ${\displaystyle E_{0}=m_{0}c^{2}}$, в терминах которых

${\displaystyle \lambda ={\frac {h}{p}}={\frac {hc}{\sqrt {[E_{K}(E_{K}+2m_{0}c^{2})]}}},}$

где ${\displaystyle hc}$ = 1240 эВ×нм, и значения ${\displaystyle m_{0}c^{2}}$ равны 0 для фотона и других безмассовых частиц, ${\displaystyle m_{e}c^{2}=}$511 кэВ для электрона, и ${\displaystyle m_{p}c^{2}=}$938 МэВ для протона.

Нерелятивистский предел

У частиц с дорелятивистскими энергиями, движущихся со скоростью ${\displaystyle v\ll c}$ (скорости света), для импульса справедлива формула ${\displaystyle p=mv}$ (где ${\displaystyle m}$ — масса покоя частицы), для кинетической энергии ${\displaystyle W=E-mc^{2}}$ — формула ${\displaystyle W={\frac {mv^{2}}{2}}}$. Тогда длина волны де Бройля

${\displaystyle \lambda ={\frac {h}{p}}={\frac {h}{mv}}={\frac {h}{\sqrt {2mW}}}.}$

В частности, для электрона, который ускорился в электрическом поле с разностью потенциалов ${\displaystyle \Delta \varphi }$ (в вольтах),

${\displaystyle \lambda ={\frac {12{,}25}{\sqrt {\Delta \varphi }}}\;\mathrm {\AA} .}$

Ультрарелятивистский предел

Для частиц в ультрарелятивистском случае, когда их скорость близка к скорости света, ${\displaystyle v\rightarrow c,E\gg mc^{2}}$, длины волны равна ${\displaystyle \lambda ={\frac {hc}{E}}}$^[5].

Формулы де Бройля для 4-векторов

В четырёхмерном виде формулы де Бройля связывают четырёхвектор энергии-импульса ${\displaystyle p^{\mu }}$ с четырёхмерным волновым вектором и имеют вид^[6]:

${\displaystyle p^{\mu }={\begin{pmatrix}p_{0}\\p_{1}\\p_{2}\\p_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {E}{c}}\\p_{x}\\p_{y}\\p_{z}\end{pmatrix}}=\hbar {\begin{pmatrix}{\frac {\omega }{c}}\\k_{x}\\k_{y}\\k_{z}\end{pmatrix}}.}$

Энергия и импульс любого материального объекта связаны соотношением:

${\displaystyle {\frac {E^{2}}{c^{2}}}=m^{2}c^{2}+p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}.}$

Аналогичным соотношением связаны частота и волновой вектор^[6]:

${\displaystyle {\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}={\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}+k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2},}$

где ${\displaystyle {\frac {mc}{\hbar }}}$ — комптоновское волновое число, обратное приведенной комптоновской длине волны ${\displaystyle {\frac {\lambda _{C}}{2\pi }}.}$

Фазовая и групповая скорость волн де Бройля

Фазовая скорость волн де Бройля свободной частицы

${\displaystyle v_{f}={\frac {\omega }{k}}={\frac {E}{p}}={\frac {mc^{2}}{mv}}={\frac {c^{2}}{v}}\simeq {\frac {c^{2}}{h}}m\lambda ={\frac {c^{2}p^{2}}{2Wh}}\lambda .}$

Последние соотношения — нерелятивистское приближение. Зависимость фазовой скорости дебройлевских волн от длины волны указывает на то, что эти волны испытывают дисперсию. Фазовая скорость ${\displaystyle v_{f}}$ волны де Бройля хотя и больше скорости света, но относится к числу величин, принципиально неспособных переносить информацию (является чисто математическим объектом).

Групповая скорость волны де Бройля ${\displaystyle u}$ равна скорости частицы ${\displaystyle v}$:

${\displaystyle u={\frac {d\omega }{dk}}={\frac {dE}{dp}}=v}$.

Иллюстрация

Иллюстрация волны де Бройля

Для частицы массой ${\displaystyle m}$, покоящейся в инерциальной системе отсчёта ${\displaystyle x',ct'}$ псевдоевклидовой плоскости 4-пространства Минковского, движущейся со скоростью ${\displaystyle V}$ относительно условно неподвижной системы ${\displaystyle x,ct}$ вдоль положительного направления оси ${\displaystyle x}$, формула квантовомеханической амплитуды вероятности обнаружить её в каком-либо месте пространства всюду одна и та же. Однако фаза — есть функция времени:

${\displaystyle ae^{(-i\omega _{0})t'}}$,^[7]

где: ${\displaystyle \omega _{0}={\frac {E_{0}}{\hbar }}={\frac {mc^{2}}{\hbar }}={\frac {2\pi \cdot c}{\lambda _{C}}}}$;

Здесь: ${\displaystyle \omega _{0}}$ — частота изменения фазы;

${\displaystyle E_{0}}$ — энергия покоящейся частицы;

${\displaystyle \hbar ={\frac {h}{2\pi }}}$ — приведённая постоянная Планка:

${\displaystyle c}$ — скорость света;

${\displaystyle \lambda _{C}={\frac {h}{mc}}}$ — комптоновская длина волны покоящейся частицы массой ${\displaystyle m}$^[8].

На рисунке обозначено: ${\displaystyle \lambda _{C}=O'A_{1}}$. Линиями равных фаз в этой системе будут линии одновременности, проведённые через точки временной оси параллельно пространственной оси ${\displaystyle x'}$. Эти линии представляют собой плоскую волну, которая описывается волновой функцией

${\displaystyle \psi _{(x',t')}=ae^{(-i\omega _{0})t'}=ae^{(-i/\hbar )E_{0}t'}}$;

На Рисунке 1 показаны только две линии равных фаз, проведённые через точки ${\displaystyle A_{1}}$ и ${\displaystyle A_{2}}$, в которых фазы амплитуды вероятности имеют то же значение, что и в точке ${\displaystyle O'}$, принятой за начальное. Для нештрихованной системы отсчёта ${\displaystyle x,ct}$ фаза амплитуды вероятности обнаружить частицу в какой-либо точке является уже функцией не только времени, но и пространства^[7].

Линии равных фаз системы ${\displaystyle x',ct'}$ пересекают как временную, так и пространственную оси системы ${\displaystyle x,ct}$, разбивая при этом каждую из них на равные отрезки.

Фаза амплитуды вероятности является инвариантной величиной. Это означает, если в штрихованной системе в пространственно-временных точках ${\displaystyle C_{1}}$ и ${\displaystyle B_{1}}$ фаза отличается на целое число ${\displaystyle 2\pi }$ относительно фазы в точке ${\displaystyle O'}$, то и в нештрихованной системе в этих точках фазы должны отличаться на то же число ${\displaystyle 2\pi }$.^[8] Отсюда следует, что отрезки по осям ${\displaystyle ct}$ и ${\displaystyle x}$ представляют собой длины волн как во времени, так и в пространстве.

Согласно релятивистской концепции, применяя преобразования Лоренца,^[9] из рисунка следует:

${\displaystyle OC_{1}=O'A_{1}{\sqrt {1-(V/c)^{2}}}=cT=\lambda _{C}{\sqrt {1-(V/c)^{2}}}}$,

где: ${\displaystyle T}$ — период изменения фазы в нештрихованной системе. Из последнего равенства этой цепочки равенств следует:

${\displaystyle E=\hbar \omega }$,

где: ${\displaystyle \omega }$ — круговая частота изменения фазы в системе ${\displaystyle x,ct}$;

${\displaystyle E=mc^{2}/{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}$ — полная энергия частицы в системе отсчета ${\displaystyle x,ct}$;

Здесь учтено, что скорость частицы ${\displaystyle v}$ равна скорости ${\displaystyle V}$ перемещения штрихованной системы, в которой эта частица покоится.

Из треугольника ${\displaystyle OB_{1}C_{1}}$, принимая во внимание, что ${\displaystyle \operatorname {tg\alpha } ={\frac {V}{c}}}$ и учитывая, что ${\displaystyle v=V}$, получим:

${\displaystyle B_{1}O={\frac {\lambda _{C}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}{\operatorname {tg\alpha } }}={\frac {h}{p}}=\lambda }$,

где: ${\displaystyle \lambda }$ — длина волны де Бройля;

${\displaystyle p}$ — импульс частицы.

Выражение для фазы амплитуды вероятности волны де Бройля в системе ${\displaystyle x,ct}$ можно получить, используя преобразование Лоренца для времени при переходе из штрихованной системы к нештрихованной:

${\displaystyle t'={\frac {t-(V/c^{2})x}{\sqrt {1-(V/c)^{2}}}}}$;

Заменив ${\displaystyle t'}$ на ${\displaystyle t}$ в выражении для амплитуды в штрихованной системе отсчета, получим:

${\displaystyle ae^{(-i/\hbar )E_{0}t'}=ae^{-{(i/\hbar )\left[\left(E_{0}t/{\sqrt {1-(V/c)^{2}}}\right)-\left(E_{0}Vx/{c^{2}{\sqrt {1-(V/c)^{2}}}}\right)\right]}}}$;

Отождествляя полную энергию частицы ${\displaystyle E=E_{0}/{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}$ и её импульс ${\displaystyle p=E_{0}v/c^{2}{\sqrt {1-(v/c^{2}}}}$ с полученным при преобразовании выражением для фазы, учитывая, что ${\displaystyle v=V}$, формула амплитуды волны де Бройля запишется так:

${\displaystyle ae^{-{(i/\hbar )\left[Et-px\right]}}}$;^[7]

Фазовая скорость волны, то есть скорость, с которой перемещаются точки волны с постоянной фазой (например, на Рисунке 1 перемещение одноимённой фазы из точки ${\displaystyle B_{1}}$ в точку ${\displaystyle C_{1}}$) определяется непосредственно из треугольника ${\displaystyle OB_{1}C_{1}}$:

${\displaystyle v_{f}={\frac {c^{2}}{v}}}$;

Монохроматическая волна де Бройля характеризуется соотношениями ${\displaystyle \Delta x=\infty }$ и ${\displaystyle \Delta p=0}$. То есть, такой волновой объект имеет вполне определённый импульс и совершенно неопределённую область локации.^[10] Именно это и содержится в утверждении, когда говорится, что существует одинаковая амплитуда вероятности обнаружить частицу во всех точках пространства.

Явление корпускулярно-волнового дуализма присуще всем видам материи, но в разной степени. Частице массой ${\displaystyle m=10^{-5}}$ г, движущейся со скоростью ${\displaystyle v=1}$ м/с, соответствует волна де Бройля с длиной волны ${\displaystyle \lambda =6{,}6\cdot 10^{-22}}$ см. Такие длины волн лежат за пределами доступной наблюдению области. Поэтому в механике макроскопических тел волновые свойства несущественны и не учитываются.^[8]

Зависимость длины волны от скорости частицы

Механизм изменения длины волны де Бройля в зависимости от изменения скорости частицы заключается в следующем.

При возрастании скорости перемещения штрихованной системы, которая является собственной для покоящейся в ней частицы, координатные оси этой системы словно лезвия ножниц, вращаясь относительно начала ${\displaystyle O'}$, поворачиваются в сторону положения биссектрисы квадранта, образованного положительными направлениями осей нештрихованной системы.^[9] Точка ${\displaystyle A_{1}}$ (Рисунок 1) пересечения временной оси ${\displaystyle ct'}$ с инвариантной (единичной) гиперболой^[9] ${\displaystyle \lambda _{C}^{2}=c^{2}t^{2}-x^{2}}$, которая определяет длину ${\displaystyle \lambda _{C}}$ в штрихованной системе, неограниченно приближается к биссектрисе квадранта, принимая бесконечные положительные значения координатных осей ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle ct}$. При этом, линия одновременности (линия равных фаз), проведенная через эту точку, стремится к положению биссектрисы, и точка ${\displaystyle B_{1}}$ пересечения этой линии с осью ${\displaystyle x}$ устремляется к началу O. То есть, при ${\displaystyle v=V\rightarrow c}$ длина волны ${\displaystyle \lambda \rightarrow 0}$, а импульс частицы ${\displaystyle p=mv/{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}\rightarrow \infty }$.

При уменьшении скорости перемещения собственной системы отсчёта частицы — координатные оси этой системы опять же, словно лезвия ножниц, раздвигаются относительно положения биссектрисы квадранта. Угол ${\displaystyle \alpha }$ наклона оси ${\displaystyle ct'}$ к оси ${\displaystyle ct}$ и оси ${\displaystyle x'}$ к оси ${\displaystyle x}$ стремится к нулю. Точка ${\displaystyle A_{1}}$ пересечения единичной гиперболы с осью времени штрихованной системы приближается к точке ${\displaystyle A}$. При этом, линия равных фаз штрихованной системы, проведённая через точку ${\displaystyle A_{1}}$, стремится к параллельности с осью ${\displaystyle x}$, а точка ${\displaystyle B_{1}}$ пересечения этой линии с осью ${\displaystyle x}$ устремляется в бесконечность в сторону отрицательных значений оси ${\displaystyle x}$. Это означает, что при ${\displaystyle v=V\rightarrow 0}$ длина волны ${\displaystyle \lambda \rightarrow \infty }$, а импульс частицы ${\displaystyle p\rightarrow 0}$. В этом предельном случае фаза амплитуды вероятности будет уже функцией только времени. И параметром волны будет комптоновская длина волны ${\displaystyle \lambda _{C}=OA}$.

Подытоживая результаты обоих предельных случаев, когда произведение длины волны и импульса частицы принимает вид неопределённостей типов ${\displaystyle (0\cdot \infty )}$ и ${\displaystyle (\infty \cdot 0)}$ можно утверждать: ${\displaystyle \lambda \cdot p=const}$, что находит своё подтверждение в соотношении де Бройля: ${\displaystyle \lambda ={\frac {h}{p}}}$.

Экспериментальная проверка

Гипотеза де Бройля объясняет ряд экспериментов, необъяснимых в рамках классической физики^[11]:

• Опыт Дэвиссона — Джермера по дифракции электронов на кристаллах никеля.
• Опыт Дж. П. Томсона по дифракции электронов на металлической фольге.
• Эффект Рамзауэра аномального уменьшения сечения рассеяния электронов малых энергий атомами аргона.
• Дифракция нейтронов на кристаллах (опыты Г. Хальбана, П. Прайсверка и Д. Митчелла).

Волновые свойства не проявляются у макроскопических тел. Длины волн де Бройля для таких тел настолько малы, что обнаружение волновых свойств оказывается невозможным. Впрочем, наблюдать квантовые эффекты можно и в макроскопическом масштабе, особенно ярким примером этому служат сверхпроводимость и сверхтекучесть.

См. также

• Волновой пакет
• Комптоновская длина волны
• Ток вероятности

Примечания

1. Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М., Фейнмановские лекции по физике. Вып. 3–4, 1976, с. 221–222, 412.
2. Louis de Broglie «The Reinterpretation of Wave Mechanics» Foundations of Physics, Vol. 1 No. 1 (1970) (недоступная ссылка)
3. М. Борн. Размышления и воспоминания физика: Сборник статей / Отв. ред. Э. И. Чудинов. — М.: Наука, 1977. — С. 16. — 280 с.
4. Широков Ю. М., Юдин Н. П. Ядерная физика. — М.: Наука, 1972. — С. 17-18
5. Волна де Бройля — статья из Физической энциклопедии
6. Паули В. Общие принципы волновой механики. — М.: ОГИЗ, 1947. — С. 14
7. Фейнман Ричард Филлипс. Том 3. Квантовая механика Архивная копия от 2 марта 2021 на Wayback Machine Гл. 5. § 1, § 2.
8. Вихман Э. Квантовая физика. — М.: Наука, 1977. — С. 156—157, 185, 187—188. — 415 с.
9. Угаров В. А. Специальная теория относительности. - М.: Наука, 1977, - С. 60 - 62, 64 - 65, 121 - 124. - 384 с.
10. Г. А. Зисман, О. М. Тодес. Курс общей физики, том III. — М.: Наука, 1972. — С. 282—283. — 496 с.
11. Архивированная копия  (неопр.). Дата обращения: 25 декабря 2009. Архивировано 26 апреля 2009 года.Архивированная копия  (неопр.). Дата обращения: 25 декабря 2009. Архивировано 26 апреля 2009 года.

Литература

• Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. Вып. 3–4. — 3-е изд. — М.: Мир, 1976. — 496 с.
• www.e-libra.su/read/464761-tom-3-kvantovaya-mehanika.html# — Фейнман Ричард Филлипс. Том 3. Квантовая механика читать онлайн. Гл. 5. § 1, § 2.

Ссылки

• Волны де Бройля / лекция «Элементы квантовой механики»
• Соотношение де Бройля // «Элементы»