Свободная группа

Не следует путать со Свободная абелева группа.

Свобо́дная гру́ппа в теории групп — группа, для которой существует такое её подмножество, называемое базисом, что каждый элемент группы может быть единственным образом записан в виде несократимого слова в элементах базиса и их обратных. Является центральным понятием комбинаторной теории групп.

Граф Кэли свободной группы с базисом ${\displaystyle \{a,b\}}$.

Любые две группы, обладающие равномощными базисами, изоморфны. Мощность базиса свободной группы называется её рангом. В частности, для каждого ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ определена свободная группа ранга ${\displaystyle n}$, которая обозначается ${\displaystyle F_{n}}$. Например, группа ${\displaystyle F_{1}}$ изоморфна бесконечной циклической группе.

Абелианизация любой свободной группы изоморфна свободной абелевой группе того же ранга.

Конструктивное определение

Возможно предъявить явную конструкцию свободных групп, доказав тем самым их существование^[1][2]. Будем считать элементы множества ${\displaystyle S}$ «символами» и для каждого символа ${\displaystyle s}$ из ${\displaystyle S}$ введём символ ${\displaystyle s^{-1}}$; множество последних обозначим ${\displaystyle S^{-1}}$. Пусть

${\displaystyle T=S\cup S^{-1}}$.

Определим слово над ${\displaystyle S}$ как конечную цепочку (возможно, повторяющихся) символов из ${\displaystyle T}$, записанных друг за другом. Вместе с операцией конкатенации (склейки, приписывания) множество слов над ${\displaystyle S}$ становится полугруппой. Будем считать, что во множестве слов имеется пустое слово ${\displaystyle \varepsilon }$, которое не содержит символов. Таким образом получается моноид слов над ${\displaystyle S.}$

Например, для ${\displaystyle S=\{a,b,c\}}$. ${\displaystyle T=\{a,a^{-1},b,b^{-1},c,c^{-1}\}}$, два слова:

${\displaystyle \alpha =abc^{-1}a,~~\beta =b^{-1}ba^{-1}}$,

и их конкатенация:

${\displaystyle \gamma =\alpha \beta =abc^{-1}ab^{-1}ba^{-1}}$.

Например, ${\displaystyle \alpha \varepsilon =\alpha =abc^{-1}a}$.

Далее вводится правило редукции слов. Если в некотором слове за символом (символу) из ${\displaystyle S}$ следует (предшествует) соответствующий ему символ из ${\displaystyle S^{-1},}$ то удаление этой пары символов назовём редукцией. Слово называется редуцированным, если в нём больше нельзя провести редукцию. Полной редукцией называется последовательное применение редукции к данном слову до тех пор, пока оно не станет редуцированным. Например, из слова ${\displaystyle \gamma }$ (см. пример выше) после полной редукции получается редуцированное слово: ${\displaystyle abc^{-1}.}$ Это определение является корректным: легко показать, что разный порядок выполнения нескольких редукций до тех пор, пока они возможны, приводит к единственному результату.

Свободной группой ${\displaystyle F_{S}}$, порождённой множеством ${\displaystyle S}$ (или свободной группой над ${\displaystyle S}$) называется группа редуцированных слов над ${\displaystyle S}$ с операцией конкатенации (за которой следует полная редукция результата при необходимости).

Свойства

• Все свободные группы, порождённые равномощными множествами, изоморфны. При этом мощность множества, порождающего данную свободную группу, называется её рангом.
• Свободная группа ${\displaystyle F_{n}}$ изоморфна свободному произведению ${\displaystyle n}$ копий ${\displaystyle \mathbb {Z} }$.
• Теорема Нильсена — Шрайера: любая подгруппа свободной группы свободна.
• Любая группа ${\displaystyle G}$ есть факторгруппа некоторой свободной группы ${\displaystyle F_{S}}$ по некоторой её подгруппе H. За ${\displaystyle S}$ могут быть взяты образующие ${\displaystyle G}$. Тогда существует естественный эпиморфизм ${\displaystyle f:\;F_{S}\to G}$. Ядро H этого эпиморфизма является множеством соотношений задания ${\displaystyle G=\langle S,H\rangle }$.
• Коммутант свободной группы конечного ранга имеет бесконечный ранг. Например, коммутант порождённой двумя элементами свободной группы ${\displaystyle F(a,b)}$ — это свободная группа, порождённая всеми коммутаторами ${\displaystyle [a^{n},b^{m}],\,m,n\neq 0}$.

Универсальное свойство

Свободная группа ${\displaystyle F_{S}}$ — это в некотором смысле наиболее общая группа, порождённая множеством ${\displaystyle S.}$ А именно, для любой группы ${\displaystyle G}$ и любого отображения множеств ${\displaystyle f\colon S\to G}$ существует единственный гомоморфизм групп ${\displaystyle \varphi \colon F_{S}\to G,}$ для которого следующая диаграмма коммутативна:

Таким образом, существует взаимно однозначное соответствие между множествами отображений ${\displaystyle S\to G}$ и гомоморфизмов ${\displaystyle F_{S}\to G}$. Для несвободной группы соотношения в группе накладывали бы ограничения на возможные образы образующих элементов группы.

Это свойство можно принять за определение свободной группы^[3], при этом она определена лишь с точностью до изоморфизма, как и любой универсальный объект. Это свойство называется универсальностью свободных групп. Порождающее множество ${\displaystyle S}$ называется базисом группы ${\displaystyle F_{s}}$. Одна и та же свободная группа может иметь разные базисы.

С точки зрения теории категорий свободная группа — это функтор из категории множеств ${\displaystyle \mathbf {Set} }$ в категорию групп ${\displaystyle \mathbf {Grp} }$, являющийся левым сопряжённым для забывающего функтора ${\displaystyle \mathbf {Grp} \to \mathbf {Set} }$.

Примечания

1. Линдон Р., Шупп П. Комбинаторная теория групп. — М.: Мир, 1980. — С. 13.
2. Гл. 5, § 14 // Основы теории групп / Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. — 3-е изд. — М.: Наука, 1982. — 288 с.
3. Маклейн С. Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.

Литература

• Мельников О. В., Ремесленников В. Н., Романьков В. А. . Глава II. Группы // Общая алгебра / Под общ. ред. Л. А. Скорнякова. — М.: Наука, 1990. — Т. 1. — С. 66—290. — 592 с. — (Справочная математическая библиотека). — 30 000 экз. — ISBN 5-02-014426-6.