Loading AI tools
Из Википедии, свободной энциклопедии
В математике, категория групп — это категория, класс объектов которой составляют группы, а морфизмы — гомоморфизмы групп.
Рассмотрим два забывающих функтора из Grp:
M:Grp → Mon
U:Grp → Set
Здесь M имеет два сопряженных:
Здесь I:Mon→Grp — функтор, отправляющий моноид в подмоноид обратимых элементов и K:Mon→Grp — функтор, отправляющий моноид в его группу Гротендика.
Забывающий U:Grp → Set имеет правый сопряженный — композицию KF:Set→Mon→Grp, где F — свободный функтор.
Мономорфизмы в Grp — в точности инъективные гомоморфизмы, эпиморфизмы в точности сюръективные гомоморфизмы, и изоморфизмы — биективные гомоморфизмы.
Категория Grp является полной и кополной. Произведение в Grp — это прямое произведение групп, тогда как копроизведение — свободное произведение групп. Нулевой объект в Grp — тривиальная группа.
Категория абелевых групп, Ab, — полная подкатегория Grp. Ab является абелевой категорией, но Grp не является даже аддитивной категорией, поскольку не существует естественного способа определить сумму двух гомоморфизмов.
Понятие точной последовательности имеет смысл и в Grp, причем некоторые результаты из теории абелевых категорий, например 9-лемма и 5-лемма, остаются верными в Grp. С другой стороны, лемма о змее перестает быть верной.
В статье не хватает ссылок на источники (см. рекомендации по поиску). |
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.