Ряд (математика)
понятие в математическом анализе / Материал из Википедии — свободной encyclopedia
Уважаемый Wikiwand AI, давайте упростим задачу, просто ответив на эти ключевые вопросы:
Перечислите основные факты и статистические данные о Ряд (математика)?
Кратко изложите эту статью для 10-летнего ребёнка
Ряд (бесконе́чная су́мма) в математике — одно из центральных понятий математического анализа, математическая концепция, представляющая собой сумму бесконечного числа слагаемых, упорядоченных в определённой последовательности. В простейшем случае ряд записывается как бесконечная сумма чисел[1][2]:
- Краткая запись:
- (иногда нумерацию слагаемых начинают не с 1, а с нуля).
Слагаемые тогда представляют собой последовательность вещественных или комплексных чисел. Обрывая бесконечный ряд на -м члене, получаем частичные суммы:
Если для последовательности частичных сумм определён конечный предел: то значение называется суммой данного ряда, а сам ряд называется сходящимся (в противном случае — расходящимся)[3].
При более общем подходе ряд понимается как последовательность элементов (членов данного ряда) некоторого топологического векторного пространства, рассматриваемая вместе с множеством частичных сумм членов ряда (частичные суммы определяются так же, как и в числовых рядах). Например, если в качестве элементов ряда используются функции, то говорят о функциональных рядах.
Числовые ряды и их обобщения используются повсеместно в математическом анализе для вычислений, анализа поведения разнообразных функций, в частности при решении алгебраических или дифференциальных уравнений. Разложение функции в ряд можно рассматривать как обобщение задания вектора координатами, эта операция позволяет свести исследование сложной функции к анализу элементарных функций и облегчает численные расчёты[4].
Ряды — незаменимый инструмент исследования не только в математике, но и в физике, информатике, статистике и других науках[4][2][5]. Широкое использование аппарата рядов характерно, например, для небесной механики[6], оптики, теории упругости[7], теории теплопроводности (именно для этого раздела физики были первоначально разработаны ряды Фурье), в теории электромагнетизма[8], в ядерной физике[9], в экономике[10].
Эпизодическое использование бесконечных рядов (в основном прогрессий) отмечается с античных времён. Основы систематической теории разложения функций в ряды разработал Ньютон в конце XVII века, для него она стала основным инструментом работы с неэлементарными и неявно заданными функциями. С помощью рядов Ньютон выполнял, в частности, интегрирование функций и решение дифференциальных уравнений. В дальнейшем большой вклад в тематику внесли Эйлер, Коши, Фурье и другие математики[11].