Обратная задача

Обратная задача — тип задач, часто возникающий во многих разделах науки, когда значения параметров модели должны быть получены из наблюдаемых данных.

Примеры обратных задач можно найти в следующих областях: геофизика, астрономия, медицинская визуализация, компьютерная томография, дистанционное зондирование Земли, спектральный анализ, теория рассеяния и задачи по неразрушающему контролю.

Обратные задачи являются некорректно поставленными задачами. Из трёх условий корректно поставленной задачи (существование решения, единственность решения и его устойчивость) в обратных задачах наиболее часто нарушается последнее. В функциональном анализе обратная задача представляется в виде отображения между метрическими пространствами. Обратные задачи обычно формулируются в бесконечномерных пространствах, но ограничение на конечность измерений и целесообразность вычисления конечного числа неизвестных параметров приводят к изменению задачи в дискретной форме. В этом случае используют метод регуляризации для того, чтобы избежать переобучения.

Линейная обратная задача

Линейная обратная задача может быть описана в следующем виде:

${\displaystyle \ d=G(m)}$,

где ${\displaystyle G}$ — линейный оператор, описывающий явные отношения между данными и параметрами модели, и представляющий собой физическую систему. В случае дискретной линейной обратной задачи, описывающей линейную систему, ${\displaystyle d}$ и ${\displaystyle m}$ являются векторами, что позволяет использовать следующее представление задачи:

${\displaystyle \ d=Gm}$,

где ${\displaystyle G}$ является матрицей.

Примеры

Примером линейной обратной задачи служит интегральное уравнение Фредгольма первого порядка.

${\displaystyle d(x)=\int \limits _{a}^{b}g(x,y)\,m(y)\,dy}$

Для существенно гладкого ${\displaystyle g}$ определённый выше оператор является компактным на таких банаховых пространствах, как Пространства ${\displaystyle L^{p}}$. Даже если отображение является взаимно однозначным, обратная функция не будет непрерывной. Таким образом, даже маленькие ошибки в данных ${\displaystyle d}$ будут сильно увеличены в решении ${\displaystyle m}$. В этом отношении обратная задача по определению ${\displaystyle m}$ из измеренных данных ${\displaystyle d}$ будет являться некорректной.

Для получения численного решения необходимо аппроксимировать интеграл с помощью численного интегрирования и дискретных данных. Результирующая система линейных уравнений будет некорректно поставленной задачей.

Преобразование Радона также является примером линейной обратной задачи.

Нелинейная обратная задача

В нелинейных обратных задачах ставятся более сложные отношения между данными и моделью, которые описываются уравнением:

${\displaystyle \ d=G(m).}$

Здесь ${\displaystyle G}$ представляет собой нелинейный оператор, который не может быть приведён к виду линейного отображения, переводящего ${\displaystyle m}$ в данные. Линейные обратные задачи были полностью решены с теоретической точки зрения в конце XIX века, из нелинейных до 1970 года был решён только один класс задач — задача обратного рассеяния. Существенный вклад внесла российская математическая школа (Крейн, Гельфанд, Левитан).

Ссылки

• Научная Сеть >> Обратные задачи в астрофизике
• Inverse Problems Network

Международные научные журналы

• Inverse Problems
• Journal of Inverse and Ill-posed Problems
• Inverse Problems in Science and Engineering
• Inverse Problems and Imaging

Литература

• Гольцман Ф. М. Статистические модели интерпретации. - М., Наука, 1971. - 323 c.