Компактный оператор

Компа́ктный опера́тор — понятие функционального анализа. Компактные операторы естественно возникают при изучении интегральных уравнений, а их свойства схожи со свойствами операторов в конечномерных пространствах. Компактные операторы также часто называют вполне непрерывными.

Определение

Пусть ${\displaystyle X,Y}$ — банаховы пространства. Линейный оператор ${\displaystyle T:X\to Y}$ называется компактным, если любое ограниченное подмножество в ${\displaystyle X}$ он переводит в предкомпактное подмножество в ${\displaystyle Y}$.

Существует эквивалентное определение, использующее понятие слабой топологии: линейный оператор ${\displaystyle T:X\to Y}$ называется компактным, если его сужение на единичный шар в ${\displaystyle X}$ является непрерывным отображением относительно слабой топологии в ${\displaystyle X}$ и нормовой топологии в ${\displaystyle Y}$. Очевидно, свойство компактности сильнее, чем ограниченность.

Множество компактных операторов ${\displaystyle T:X\to Y}$ обозначается через ${\displaystyle {\mathcal {K}}(X,Y)}$. Оно является подмножеством в пространстве ограниченных операторов ${\displaystyle {\mathcal {L}}(X,Y)}$, действующих из ${\displaystyle X}$ в ${\displaystyle Y}$.

Простейшие свойства

• Всякий вполне непрерывный оператор является ограниченным, однако не всякий ограниченный оператор является вполне непрерывным^[1].
• Линейная комбинация вполне непрерывных операторов ${\displaystyle A,B}$ вида ${\displaystyle \alpha A+\beta B}$, где ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ — числа, также является вполне непрерывным оператором^[2].
• Пусть ${\displaystyle A}$ — вполне непрерывный оператор, отображающий бесконечномерное банахово пространство в себя, и ${\displaystyle B}$ — произвольный линейный ограниченный оператор, определённый на этом же пространстве. Тогда ${\displaystyle AB}$ и ${\displaystyle BA}$ являются вполне непрерывными операторами^[2].
• Если последовательность вполне непрерывных операторов ${\displaystyle \left\{A_{n}\right\}}$, отображающих пространство ${\displaystyle E_{x}}$ в полное пространство ${\displaystyle E_{y}}$, равномерно сходится к оператору ${\displaystyle A}$ (то есть ${\displaystyle \left\|A-A_{n}\right\|\to 0}$), то ${\displaystyle A}$ также вполне непрерывный оператор.^[2][3]
• Если оператор компактен, то сопряженный к нему тоже компактен.

Примеры

Наиболее содержательные примеры компактных операторов доставляет теория интегральных уравнений:

• Возьмём произвольную функцию ${\displaystyle g\in L_{2}([0,1]\times [0,1])}$. Тогда определённый следующим образом интегральный оператор ${\displaystyle T:L_{2}(0,1)\to L_{2}(0,1)}$ будет компактным:

${\displaystyle (Tf)(t)=\int \limits _{0}^{1}g(s,t)f(s)\,ds}$

• Пусть функция g на ${\displaystyle [0,1]\times [0,1]}$ имеет точки разрыва лишь на конечном числе кривых. Тогда оператор ${\displaystyle T:C(0,1)\to C(0,1)}$, определённый точно так же, как и оператор в предыдущем примере, является компактным уже в пространстве непрерывных функций.

Диагональный оператор ${\displaystyle T_{\lambda }:l_{2}\to l_{2}}$, соответствующий последовательности ${\displaystyle \lambda =(\lambda _{1},\lambda _{2},\dots )}$ и действующий по правилу ${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\dots )\to (\lambda _{1}x_{1},\lambda _{2}x_{2},\dots )}$ ограничен тогда и только тогда, когда последовательность ${\displaystyle \lambda }$ ограничена, а компактность равносильна сходимости последовательности ${\displaystyle \lambda }$ к нулю.

Обратимый оператор ${\displaystyle A:X\to Y}$ компактен тогда и только тогда, когда ${\displaystyle X,Y}$ конечномерны.

Конечномерные операторы

Очевидно, что любой линейный ограниченный оператор с конечномерным образом является компактным (такие операторы называются конечномерными). Для компактного оператора ${\displaystyle T:X\to Y}$, где ${\displaystyle Y}$ — гильбертово пространство, всегда существует последовательность конечномерных операторов, сходящаяся к ${\displaystyle T}$ по норме. Однако, это неверно для произвольного пространства ${\displaystyle Y}$. Говорят, что банахово пространство ${\displaystyle Y}$ обладает свойством аппроксимации, если для любого банахова пространства ${\displaystyle X}$ любой компактный оператор ${\displaystyle T:X\to Y}$ может быть приближен конечномерными операторами. Существуют сепарабельные банаховы пространства, не обладающие свойством аппроксимации.

Свойства пространства компактных операторов

Из базовых свойств компактных операторов сразу следует, что ${\displaystyle {\mathcal {K}}(X,Y)}$ является подпространством в ${\displaystyle {\mathcal {L}}(X,Y)}$. Однако, можно показать, что это подпространство замкнуто. В случае, когда ${\displaystyle X=Y}$, пространство операторов приобретает структуру алгебры (умножение задается композицией операторов). Тогда ${\displaystyle {\mathcal {K}}(X,X)}$ является замкнутым двусторонним идеалом в ${\displaystyle {\mathcal {L}}(X)}$.

Свойство аппроксимации для пространства ${\displaystyle Y}$ можно сформулировать таким образом: для любого банахова пространства ${\displaystyle X}$ пространство ${\displaystyle {\mathcal {K}}(X,Y)}$ является замыканием пространства конечномерных операторов из ${\displaystyle X}$ в ${\displaystyle Y}$.

Спектральные свойства компактных операторов

Пусть ${\displaystyle T:X\to X}$ — компактный оператор. Тогда оператор ${\displaystyle K=I-T}$ является нетеровым оператором индекса 0 (фредгольмовым). В частности, имеем альтернативу Фредгольма для ${\displaystyle K}$: он сюръективен тогда и только тогда когда инъективен (альтернатива в том, что либо ядро не пусто, либо образ совпадает со всем пространством). Как следствие сразу получаем, что весь ненулевой спектр компактного оператора является дискретным (остаточный и непрерывный спектры могут содержать только ноль). Ноль же всегда принадлежит спектру оператора ${\displaystyle T}$ в бесконечномерном случае (иначе обратимый оператор был бы компактен) и может не быть собственным значением для оператора ${\displaystyle T}$.

В случае, когда оператор ${\displaystyle T}$ является самосопряженным (здесь ${\displaystyle X}$ гильбертово), дополнительно имеем теорему Гильберта-Шмидта: существуют конечная или счетная ортонормированная система векторов ${\displaystyle e_{1},e_{2},\dots }$ и последовательность ненулевых вещественных чисел (той же мощности, что и система векторов) ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\dots }$, такие, что оператор ${\displaystyle T}$ действует по правилу ${\displaystyle T(x)=\sum \limits _{n}\lambda _{n}(x,e_{n})e_{n}}$. Эта теорема является естественным обобщением аналогичной теоремы для самосопряженных операторов в конечномерном пространстве. Тем самым, класс компактных операторов, с точки зрения спектральных свойств, похож на операторы в конечномерном пространстве.

Классы компактных операторов

Пусть ${\displaystyle T:X\to Y}$ — компактный оператор, ${\displaystyle X,Y}$ — гильбертовы пространства. Тогда существуют пара конечных или счетных ортонормированных последовательностей одинаковой мощности ${\displaystyle e_{1},e_{2},\dots }$ в ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle f_{1},f_{2},\dots }$ в ${\displaystyle Y}$ и невозрастающая последовательность положительных вещественных чисел (той же мощности) ${\displaystyle s_{1},s_{2},\dots }$, сходящаяся к нулю, если она бесконечна, такие что оператор ${\displaystyle T}$ действует по правилу ${\displaystyle T(x)=\sum \limits _{n}s_{n}(x,e_{n})f_{n}}$. Данный факт известен под названием теорема Шмидта (по формулировке она очень похожа на теорему Гильберта — Шмидта, и, в самом деле, теорема Шмидта, с небольшими изменениями для самосопряженного оператора служит доказательством для теоремы Гильберта-Шмидта). Нетрудно показать, что числа ${\displaystyle s_{1},s_{2},\dots }$, которые называются числами Шмидта, однозначно определяются оператором.

Если для оператора ${\displaystyle T}$ сходится ${\displaystyle \sum \limits _{n}s_{n}^{2}}$, то оператор называется оператором Гильберта — Шмидта. Норма вводится соотношением ${\displaystyle \|T\|={\sqrt {\sum \limits _{n}^{\ }s_{n}^{2}}}}$, причем она порождается скалярным произведением. Если же сходится ${\displaystyle \sum \limits _{n}s_{n}}$, то оператор называется ядерным или оператором со следом. На пространстве ядерных операторов норма вводится соотношением ${\displaystyle \|T\|=\sum \limits _{n}s_{n}}$.

Примечания

1. Краснов, 1975, с. 178.
2. Краснов, 1975, с. 179.
3. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа, Наука, 1965

Литература

• А. Я. Хелемский. Лекции по функциональному анализу. — МЦНМО, 2014. — 552 с. — 2000 экз. — ISBN 5-94057-065-8.
• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвертое, переработанное. — М.: Наука, 1976. — 544 с. — 35 000 экз.
• Краснов М. Л. Интегральные уравнения. — М.: Наука, 1975. — 304 с.

См. также

• Ядерный оператор
• Оператор Гильберта — Шмидта
• Фредгольмов оператор
• Непрерывный оператор