Loading AI tools
Из Википедии, свободной энциклопедии
Лине́йно упоря́доченное мно́жество (цепь, сокр. ЛУМ) ― частично упорядоченное множество, в котором любая пара элементов сравнима, то есть для любых двух элементов и имеет место или .
Одно из центральных понятий в теории порядков; играет важную роль в общей алгебре, в частности, особо изучаются упорядоченные группы, упорядоченные кольца, упорядоченные поля. Важнейший частный случай линейно упорядоченных множеств ― вполне упорядоченные множества.
Сечением линейно упорядоченного множества называется разбиение его на два подмножества и так, что , и для любых и : . Классы и называются соответственно нижним и верхним классами сечения.
Различаются следующие типы сечений:
Линейно упорядоченное множество называется непрерывным, если все его сечения дедекиндовы.
Подмножество линейно упорядоченного множества называется плотным, если каждый неодноэлементный интервал множества содержит элементы, принадлежащие .
Подмножество линейно упорядоченного множества само является линейно упорядоченным.
Всякий максимальный (минимальный) элемент линейно упорядоченного множества оказывается наибольшим (наименьшим).[1]
Линейно упорядоченное множество вещественных чисел может быть охарактеризовано как непрерывное линейно упорядоченное множество, в котором нет ни наибольшего, ни наименьшего элементов, но содержится счётное плотное подмножество.
Всякое счётное линейно упорядоченное множество изоморфно некоторому подмножеству отрезка с порядком, унаследованным от .
Решётка изоморфна подмножеству линейно упорядоченного множества целых чисел тогда и только тогда, когда каждая её подрешетка является ретрактом.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.