Пусть — кольцо, для элементов которого определён линейный порядок, то есть задано отношение (меньше или равно) со следующими свойствами[1].
- Рефлексивность: .
- Транзитивность: если и , то .
- Антисимметричность: если и , то .
- Линейность: все элементы сравнимы между собой, то есть либо , либо .
Кроме того, потребуем, чтобы порядок был согласован с операциями сложения и умножения кольца:
- Если , то для любого z: .
- Если и , то .
Если все 6 аксиом выполнены, то кольцо называется упорядоченным[2].
- Кольцо целых чисел
- Кольцо чётных чисел и вообще любое кольцо чисел, кратных заданному ненулевому вещественному числу (не обязательно целому).
- Любое упорядоченное поле — например, поля рациональных и вещественных чисел) являются также упорядоченными кольцами.
- Пример упорядоченного кольца с делителями нуля: если в аддитивной группе целых чисел положить все произведения равными нулю, то получится упорядоченное кольцо, в котором любой элемент является делителем нуля (единица тогда не является нейтральным элементом для умножения, так что получается кольцо без единицы)[3][4].
Для всех имеют место следующие свойства.
- Всякий элемент упорядоченного кольца относится к одной и только одной из трёх категорий: положительные, отрицательные, нуль. Если положителен, то отрицателен, и наоборот.
- Однотипные неравенства можно складывать:
- Если и , то .
- Неравенства можно умножать на неотрицательные элементы:
- Если и , то .
- Упорядоченное кольцо не имеет делителей нуля тогда и только тогда, когда произведение положительных элементов положительно.
- Правило знаков: произведение ненулевых элементов с одинаковыми знаками неотрицательно (если в кольце нет делителей нуля, то положительно), а произведение положительного элемента на отрицательный неположительно (если нет делителей нуля, то отрицательно),
- Следствие 1: в упорядоченном кольце квадрат ненулевого элемента всегда неотрицателен (а если нет делителей нуля, то положителен)[5].
- Следствие 2: в упорядоченном кольце с единицей всегда (так как 1 есть квадрат самой себя)[4].
- Упорядоченное кольцо, которое не является тривиальным (то есть содержит не только ноль), бесконечно.
- Любое упорядоченное кольцо с единицей и без делителей нуля содержит одно и только одно подкольцо, изоморфное кольцу целых чисел[6].
Теория упорядоченных колец охватывает также особые случаи некоммутативных (или даже неассоциативных) колец. Исследуются и другие вариации:
Бурбаки Н. Алгебра. Алгебраические структуры. Линейная алгебра. — М.: Наука, 1962. — С. 137. — 517 с.
- Бурбаки Н. Алгебра. Многочлены и поля. Упорядоченные группы. — М.: Наука, 1965. — С. 271—272. — 299 с.
- Нечаев В. И. 6.4. Линейно упорядоченные кольца и тела // Числовые системы. — М.: Просвещение, 1975. — С. 90—94. — 199 с.