Кривая Лоренца

Кривая Лоренца (англ. Lorenz curve) — графическое изображение функции распределения, предложенная американским экономистом Максом Отто Лоренцем в 1905 году как показатель неравенства в доходах населения. Кривая Лоренца представляет функцию распределения, в которой аккумулируются доли численности и доходов населения. В прямоугольной системе координат кривая Лоренца является выпуклой вниз и проходит под диагональю единичного квадрата, расположенного в I координатной четверти.

Кривая Лоренца
Названо в честь	Макс Отто Лоренц
Медиафайлы на Викискладе

Определение

Согласно американским экономистам К. Р. Макконнеллу и С. Л. Брю кривая Лоренца — это кривая распределения дохода в экономике, где суммарный процент домохозяйств, получающий доход, отложен на оси абсцисс, а суммарный процент доходов — по оси ординат. Кривая Лоренца демонстрирует степень неравенства распределения доходов: область между линией абсолютного равенства и кривой Лоренца (практического распределения дохода)^[1].

Каждая точка на кривой Лоренца соответствует утверждению вроде «20 самых бедных процентов населения получают всего 7 % дохода». В случае равного распределения каждая группа населения имеет доход, пропорциональный своей численности. Такой случай описывается кривой равенства (line of perfect equality), являющейся прямой, соединяющей начало координат и точку (1;1). В случае полного неравенства (когда лишь один член общества имеет доход) кривая (line of perfect inequality) сначала «прилипает» к оси абсцисс, а потом из точки (1;0) «взмывает» к точке (1;1). Кривая Лоренца заключена между кривыми равенства и полного неравенства.

Кривые Лоренца применяют для распределений не только доходов, но и имущества домохозяйств, долей рынка для фирм в отрасли, природных ресурсов по государствам.

Формула

Формально, если ${\displaystyle p=F(x)}$ — это доля населения с подушевым доходом не более ${\displaystyle x}$, т.е. функция распределения для дохода, то средний доход на душу населения ${\displaystyle \mu }$ можно вычислить по формуле

${\displaystyle {\mu }={\int _{0}^{\infty }x\,dF}={\int _{0}^{\infty }x\,f(x)\,dx},}$

где ${\displaystyle f(x)}$ есть плотность распределения для ${\displaystyle F(x)}$, если она существует. Если ${\displaystyle 0<{\mu }<+\infty ,}$ то функция Лоренца определяется формулой

${\displaystyle L(p)=L(F(x))={\frac {\int _{0}^{x}t\,f(t)\,dt}{\int _{0}^{\infty }t\,f(t)\,dt}}={\frac {\int _{0}^{x}t\,f(t)\,dt}{\mu }}}$

(при ${\displaystyle {\mu }=0}$ или ${\displaystyle {\mu }=+\infty }$ функция Лоренца не определена). График функции Лоренца называется кривой Лоренца. Если существует обратная функция ${\displaystyle x=F^{-1}(p)}$, то

${\displaystyle L(p)={\frac {\int _{0}^{p}F^{-1}(p)\,dp}{\int _{0}^{1}F^{-1}(p)\,dp}}.}$

Пример. Если ${\displaystyle F(x)=x^{n}}$ при ${\displaystyle 0\leq x\leq 1}$ и ${\displaystyle F(x)=1}$ при ${\displaystyle x\geq 1}$, то ${\displaystyle L(p)=p^{1+{\frac {1}{n}}}}$. При ${\displaystyle n\to +\infty }$ функция распределения стремится к функции скачка в точке 1, отвечающей равномерному распределению дохода, а ${\displaystyle L(p)\to p}$, то есть кривая Лоренца стремится к кривой равенства.

Присутствие точки ${\displaystyle (p,L(p))}$ на кривой Лоренца означает, что доля ${\displaystyle p}$ самых бедных жителей совокупно обладает долей ${\displaystyle L(p)}$ общего дохода. Например, на приведенном ниже рисунке видно, что на примерно 3/4 самых бедных жителей приходится примерно половина всех доходов.

Производные показатели неравенства

Из кривой Лоренца можно вывести количественные показатели неравенства, например, коэффициент Джини и индекс Робин Гуда.

На данном рисунке изображена кривая Лоренца и индекс Робин Гуда, приблизительно равный 0.25, что означает, что при перераспределении четверти общего дохода данного общества можно добиться равенства в доходах.

Индекс Робин Гуда (Robin Hood index), также известный как индекс Гувера (Hoover index), — это ещё один показатель неравенства по доходам, имеющий связь с кривой Лоренца. Он равен той доле дохода общества, которую необходимо перераспределить для достижения равенства. Графически он представим как самый длинный вертикальный отрезок, соединяющий фактическую кривую Лоренца с линией равенства (биссектрисой I координатной четверти).

При абсолютной делимости дохода индекс Гувера принадлежит полуоткрытому интервалу [0;1). Если же доход не делим до бесконечности, то говорят о доле дохода, перераспределение которой максимально приближает данное общество к равенству.

Индекс Робин Гуда широко используется в оценках обеспеченности населённых районов врачами общей практики. При таких оценках кривая Лоренца будет наполняться не доходами, а удельным числом врачей общей практики на местность или группу людей, а ранжировать по данному показателю следует не домохозяйства, а местности или группы людей. Таким образом, он показывает, какую часть докторов следует перенаправить в другие районы для поддержания равной обеспеченности медицинским персоналом на всей исследуемой территории.

Примечания

1. Макконнелл К. Р., Брю С. Л. Экономикс: принципы, проблемы и политика : [рус.] = Economics: Principles, Problems, and Policies. — М. : Республика, 1992. — Т. 2. — ISBN 5-250-01486-0.