Космологическое уравнение состояния

Космологическое уравнение состояния (уравнение состояния космологической модели) — зависимость давления от плотности энергии определённой среды. В космологии принимают, что давление ${\displaystyle P}$ зависит линейно от плотности энергии ${\displaystyle \varepsilon }$: ${\displaystyle P=w\varepsilon \,.}$ Уравнение состояния определяет, как со временем происходит расширение Вселенной и изменение плотности энергии самой среды. Для нерелятивисткого вещества безразмерные коэффициент пропорциональности ${\displaystyle w_{m}=0\,,}$ для излучения и релятивистских частиц ${\displaystyle w_{r}=1/3\,.}$ Среда с уравнением состояния, для которого ${\displaystyle w<-1/3}$ приводит к ускорению расширения Вселенной и называется тёмной энергией; наиболее общепринятым вариантом тёмной энергии является космологическая постоянная с ${\displaystyle w_{\Lambda }=-1\,.}$

Описание

Уравнения состояния в общем виде могут иметь сложный вид, но поскольку космология обычно имеет дело с разреженными средами, то зависимость давления ${\displaystyle P}$ от плотности энергии ${\displaystyle \varepsilon }$ представляют в линейном виде: ${\displaystyle P=w\varepsilon }$, где ${\displaystyle w}$ ― безразмерная величина^[1].

Уравнение состояния различных сред во Вселенной и их плотность — параметры, от которых зависит расширение Вселенной. Его можно описать следующими уравнениями^[1][2]:

Уравнение Фридмана:

${\displaystyle \left({\frac {\dot {a}}{a}}\right)^{2}={\frac {8\pi G}{3c^{2}}}\varepsilon -{\frac {\kappa c^{2}}{R^{2}a^{2}}}}$

Закон сохранения:

${\displaystyle {\dot {\varepsilon }}+3{\frac {\dot {a}}{a}}(\varepsilon +P)=0}$

Уравнение ускорения:

${\displaystyle {\frac {\ddot {a}}{a}}=-{\frac {4\pi G}{3c^{2}}}(\varepsilon +3P)}$

Третье уравнение выводится из первых двух, так что в этой системе два независимых уравнения^[1]. В этих уравнениях ${\displaystyle a}$ — масштабный коэффициент ― величина, описывающая расширение или сжатие Вселенной, ${\displaystyle G}$ — гравитационная постоянная, ${\displaystyle c}$ — скорость света, ${\displaystyle \kappa }$ — кривизна Вселенной (принимает значения ${\displaystyle 0}$ для плоского пространства, ${\displaystyle +1}$ для пространства с положительной кривизной и ${\displaystyle -1}$ с отрицательной), ${\displaystyle R}$ ― радиус кривизны Вселенной. Точка или две точки над символом означает, соответственно, производную по времени или производную второго порядка по времени^[3].

В этих уравнениях три неизвестных функции от времени: ${\displaystyle a(t)}$, ${\displaystyle \varepsilon (t)}$, ${\displaystyle P(t)}$. Уравнение состояния даёт связь между двумя последними неизвестными, что позволяет решить систему уравнений. От его типа зависит вид решения. Например, у сред с различными коэффициентами ${\displaystyle w}$ плотность энергии при расширении Вселенной меняется по-разному: из закона сохранения можно получить соотношение ${\displaystyle \varepsilon \propto a^{-3-3w}\,.}$ При этом среды с различными уравнениями состояния могут сосуществовать одновременно: если между ними не происходит обмен энергией, то при расширении Вселенной плотность энергии каждой из сред меняется независимо от остальных^[4]. Для Вселенной с нулевой кривизной, содержащей только среду с определённым уравнением состояния, функция ${\displaystyle a(t)}$ также будет зависеть от ${\displaystyle w}$^[5]:

${\displaystyle a(t)=\left({\frac {t}{t_{0}}}\right)^{\frac {2}{3+3w}},}$

где ${\displaystyle t_{0}}$ — возраст Вселенной в данный момент. Для такой однокомпонентной Вселенной возраст можно выразить через ${\displaystyle w}$ и постоянную Хаббла ${\displaystyle H_{0}={\dot {a}}/a}$ в момент ${\displaystyle t_{0}}$^[6]:

${\displaystyle t_{0}={\frac {2}{3(1+w)}}H_{0}^{-1}\,.}$

В этом же случае плотность энергии меняется со временем как ${\displaystyle \varepsilon (t)=(t/t_{0})^{-2}\,,}$ независимо от ${\displaystyle w}$. Приведённые формулы справедливы для ${\displaystyle w\neq -1}$^[6].

Можно рассмотреть обычное нерелятивистское вещество. Давление в нём пренебрежимо мало по сравнению с плотностью энергии (см. ниже➤), так что ${\displaystyle w=0}$. Если вся Вселенная состоит из обычного вещества, то при расширении Вселенной и росте ${\displaystyle a}$ плотность энергии такого вещества уменьшается, как следует из закона сохранения. Уравнение ускорения показывает, что ${\displaystyle {\ddot {a}}/a<0\,,}$ то есть, расширение Вселенной замедляется — это можно упрощённо интерпретировать как простое следствие гравитационного взаимодействия, которое замедляет разлёт частиц. Если же представить ${\textstyle w<-1/3}$, то это будет означать, что при положительной плотности энергии, наоборот, Вселенная расширяется ускоренно ― это случай тёмной энергии (см. ниже➤)^[7][8].

Уравнения состояния различных сред

Сценарии дальнейшего развития Вселенной в зависимости от плотности материи ${\displaystyle \Omega _{m}}$ и космологической постоянной ${\displaystyle \Omega _{\Lambda }}$. Разноцветные закрашенные области обозначают ограничения на параметры, задаваемые различными наблюдательными данными: реальная величина параметров должна находиться на их пересечении или поблизости

Материя

В качестве примера можно рассмотреть разреженный газ, состоящий из нерелятивистских частиц. Уравнение состояния идеального газа обычно записывают в следующем виде^[1]:

${\displaystyle P={\frac {\rho }{\mu }}kT,}$

где ${\displaystyle \rho }$ — массовая плотность, ${\displaystyle \mu }$ — молярная масса газа, ${\displaystyle k}$ — постоянная Больцмана, ${\displaystyle T}$ — температура. Чтобы перейти к выражению давления через плотность энергии, нужно учесть, что у нерелятивистского газа энергия практически равна энергии покоя, так что ${\displaystyle \varepsilon \approx \rho c^{2}\,.}$ Тогда можно записать^[1]:

${\displaystyle P\approx {\frac {kT}{\mu c^{2}}}\varepsilon \,.}$

Поскольку газ нерелятивистский, то для среднеквадратичной скорости его частиц ${\displaystyle \langle v^{2}\rangle }$ верно соотношение ${\displaystyle 3kT=\mu \langle v^{2}\rangle }$, где предполагается ${\displaystyle \langle v^{2}\rangle \ll c^{2}\,.}$ Уравнение состояния можно привести к виду ${\displaystyle P=w_{m}\varepsilon \,,}$ где^[1]:

${\displaystyle w_{m}\approx {\frac {\langle v^{2}\rangle }{3c^{2}}}\ll 1\,.}$

Таким образом, для нерелятивистского вещества можно считать ${\displaystyle w_{m}=0\,.}$ Среду с таким уравнением состояния в космологии принято называть холодной материей, либо просто материей, противопоставляя ей излучение (см. ниже➤). К ней относится не только нерелятивистское барионное вещество, сейчас составляющее 4,8 % критической плотности Вселенной, но и холодная тёмная материя^[9] — принятый в стандартной модели ΛCDM вид тёмной материи, которая составляет 26 % критической плотности и имеет неизвестную природу^{[2][10][11][12]}.

Для частично релятивистского вещества, у которого ${\displaystyle 0<\langle v^{2}\rangle <c^{2}\,,}$ ${\displaystyle w}$ будет находиться в диапазоне от 0 до 1/3^[10].

Излучение

Уравнение состояния для фотонов, а также для релятивистского газа записывается в виде^[1]:

${\displaystyle P\approx {\frac {1}{3}}\varepsilon \,.}$

Соответственно, ${\displaystyle w_{r}=1/3\,.}$ Среду с таким уравнением состояния в космологии принято называть горячей материей, либо излучением. В современной Вселенной плотность излучения очень мала: фотоны, в основном относящиеся к реликтовому излучению, составляют 5,4⋅10⁻⁵ критической плотности, а релятивистские нейтрино ― 3,6⋅10⁻⁵ критической плотности. Из-за такого уравнения состояния плотность излучения убывает с расширением Вселенной как ${\displaystyle \varepsilon _{r}\propto a^{-4}\,,}$ что быстрее, чем убывание плотности материи как ${\displaystyle \varepsilon _{m}\propto a^{-3}\,.}$ Плотности материи и излучения были равны, когда Вселенной было 50 миллионов лет ― сейчас её возраст составляет 13,7 миллиардов лет^[2][13].

Более быстрый спад плотности энергии излучения при расширении Вселенной можно интерпретировать следующим образом. Концентрация ${\displaystyle n}$ и для фотонов, и для нерелятивистских частиц меняется с масштабным коэффициентом как ${\displaystyle n\propto a^{-3}\,.}$ Для нерелятивистских частиц, энергия которых практически полностью обусловлена энергией покоя, такую же пропорциональность имеет и плотность энергии. Энергию фотона ${\displaystyle E}$ можно выразить через его длину волны ${\displaystyle \lambda }$: ${\displaystyle E=hc/\lambda \,,}$ где ${\displaystyle h}$ — постоянная Планка. Поскольку длина волны фотона увеличивается вместе с расширением Вселенной — ${\displaystyle \lambda \propto a}$, то для фотонов ${\displaystyle \varepsilon _{r}=nE=n(hc/\lambda )\propto a^{-3}a^{-1}=a^{-4}}$^[14].

Кривизна пространства

Кривизну пространства также можно представить в виде составляющей Вселенной и использовать плотность кривизны в уравнениях, описывающих расширение Вселенной. Для кривизны ${\displaystyle w_{K}=-1/3}$ и ${\displaystyle \varepsilon _{K}\propto a^{-2}\,.}$ Плотность кривизны точно определяется через радиус кривизны^[15]:

${\displaystyle \varepsilon _{K}=-{\frac {3}{8\pi Ga^{2}R^{2}}}\,.}$

Наблюдения показывают, что наша Вселенная практически плоская, с радиусом кривизны гораздо большим, чем радиус горизонта, и плотность кривизны считают нулевой^[15][16].

Тёмная энергия

Различные среды с уравнениями состояния, для которых ${\displaystyle w<-1/3}$, называют тёмной энергией. Особенность такого уравнения состояния в том, что при положительной плотности тёмной энергии уравнение ускорения даёт ${\displaystyle {\ddot {a}}/a>0\,,}$ что означает ускоренное расширение Вселенной. Тёмная энергия имеет неизвестную природу, но поскольку ускоренное расширение Вселенной наблюдается в действительности, тёмная энергия — необходимая составляющая Вселенной^[1][17].

Наиболее общепринятый вариант тёмной энергии — космологическая постоянная (лямбда-член) с ${\displaystyle w_{\Lambda }=-1\,.}$ При таком уравнении состояния плотность тёмной энергии остаётся постоянной при расширении Вселенной, поэтому космологическую постоянную также интерпретируют как энергию вакуума. Плоская Вселенная, в которой доминирует космологическая постоянная, будет расширяться экспоненциально: ${\displaystyle a(t)=e^{H_{0}(t-t_{0})}}$^[18].

В модели ΛCDM используется именно этот вид тёмной энергии, её плотность составляет 69 % критической плотности. В возрасте Вселенной в 10,2 миллиарда лет доли материи и космологической постоянной во Вселенной были равны. Кроме того, космологическая постоянная — исторически первый рассмотренный вид тёмной энергии: первоначально Альберт Эйнштейн ввёл его для построения модели стационарной Вселенной^[англ.] в 1917 году^[19].

Тем не менее, не исключены и другие уравнения состояния тёмной энергии. Например, возможный вариант тёмной энергии с ${\displaystyle w<-1}$ называется фантомной энергией — при расширении её плотность энергии возрастает. Если в расширяющейся Вселенной присутствует фантомная энергия, то её плотность рано или поздно будет превышать плотность энергии любых гравитационно связанных систем и других тел, что приведёт к их разрушению, а масштабный коэффициент достигнет бесконечности за конечное время — это сценарий Большого разрыва^[20].

Также не исключена и возможность того, что ${\displaystyle w}$ тёмной энергии меняется со временем — подобный вид тёмной энергии называют квинтэссенцией^[21].

Примечания

1. Ryden, 2017, p. chapter 4.4.
2. Вайнберг, 2013, с. 59.
3. Ryden, 2017, p. chapters 1, 2.3, 3.4, 4.
4. Вайнберг, 2013, с. 29.
5. Ryden, 2017, p. chapters 4.4, 5.3.
6. Ryden, 2017, p. chapter 5.3.
7. Ryden, 2017, p. chapters 4.2, 4.4.
8. Вайнберг, 2013, с. 78.
9. Cold Dark Matter - an overview | ScienceDirect Topics  (неопр.). www.sciencedirect.com. Дата обращения: 9 января 2023. Архивировано 9 января 2023 года.
10. Ryden, 2017, p. chapters 4.4, 5.5, 11.5.
11. Concordance Model  (неопр.). astronomy.swin.edu.au. Дата обращения: 9 января 2023. Архивировано 9 января 2023 года.
12. Dark Matter  (неопр.). astronomy.swin.edu.au. Дата обращения: 10 января 2023. Архивировано 9 января 2023 года.
13. Ryden, 2017, p. chapters 4.4, 5.5.
14. Ryden, 2017, p. chapter 5.1.
15. Hu W. FRW Cosmology  (неопр.). University of Chicago. Дата обращения: 10 января 2023. Архивировано 10 января 2023 года.
16. Ryden, 2017, p. chapter 6.2.
17. Dark Energy  (неопр.). astronomy.swin.edu.au. Дата обращения: 10 января 2023. Архивировано 6 ноября 2022 года.
18. Ryden, 2017, p. chapters 4.4, 4.5, 5.3.3.
19. Ryden, 2017, p. chapters 4.5, 5.5, 11.5.
20. Ryden, 2017, pp. chapters 5, 12 exercises.
21. Tsujikawa S. Quintessence: a review // Classical and Quantum Gravity. — 2013-11-01. — Т. 30. — С. 214003. — ISSN 0264-9381. — doi:10.1088/0264-9381/30/21/214003. Архивировано 28 ноября 2022 года.

Литература

• Вайнберг С. Космология. — М.: УРСС, 2013. — 608 с. — ISBN 978-5-453-00040-1.
• Ryden B. Introduction to Cosmology. — Cambridge University Press, 2017. — 277 с. — ISBN 978-1-107-15483-4.