Идеал (алгебра)
понятие в теории колец / Материал из Википедии — свободной encyclopedia
Уважаемый Wikiwand AI, давайте упростим задачу, просто ответив на эти ключевые вопросы:
Перечислите основные факты и статистические данные о Идеал (алгебра)?
Кратко изложите эту статью для 10-летнего ребёнка
Идеал для — подмножество , замкнутое относительно умножения на элементы из
Наибольшее значение идеалы имеют в теории колец, но также определяются и для полугрупп, алгебр и некоторых других алгебраических структур. Название «идеал» ведёт своё происхождение от «идеальных чисел», которые были введены в 1847 году немецким математиком Э. Э. Куммером[1]. Простейшим примером идеала может служить подкольцо чётных чисел в кольце целых чисел. Идеалы дают удобный язык для обобщения результатов теории чисел на общие кольца.
Например, в кольцах вместо простых чисел изучаются простые идеалы, как обобщение взаимно простых чисел вводятся взаимно простые идеалы, можно доказать аналог китайской теоремы об остатках для идеалов.
В некотором важном классе колец (т. н. дедекиндовых) можно даже получить аналог основной теоремы арифметики: в этих кольцах каждый ненулевой идеал можно единственным образом представить как произведение простых идеалов.
Примером идеала может служить множество целых чисел, которые делятся на 6: , если рассматривать их в кольце . Это множество является идеалом потому, что и сумма любых двух таких чисел, и произведение любого из них на любое целое число сами входят в это множество. При этом то же самое множество не будет идеалом в кольце вещественных чисел, так как результат умножения какого-либо из этих чисел на произвольное вещественное число в общем случае не входит в это множество.