Закон сохранения электрического заряда

Зако́н сохране́ния электри́ческого заря́да — закон физики, утверждающий, что алгебраическая сумма зарядов электрически замкнутой системы сохраняется:

${\displaystyle q_{1}+q_{2}+q_{3}+......+q_{n}=const.}$

Закон сохранения заряда выполняется абсолютно точно. На данный момент его происхождение объясняют следствием принципа калибровочной инвариантности^[1][2]. Требование релятивистской инвариантности приводит к тому, что закон сохранения заряда имеет локальный характер: изменение заряда в любом наперёд заданном объёме равно потоку заряда через его границу. В изначальной формулировке был бы возможен следующий процесс: заряд исчезает в одной точке пространства и мгновенно возникает в другой. Однако такой процесс был бы релятивистски неинвариантен: из-за относительности одновременности в некоторых системах отсчёта заряд появился бы в новом месте до того, как исчез в предыдущем, а в некоторых — заряд появился бы в новом месте спустя некоторое время после исчезновения в предыдущем. То есть был бы отрезок времени, в течение которого заряд не сохраняется. Требование локальности позволяет записать закон сохранения заряда в дифференциальной и интегральной форме.

Закон сохранения заряда и калибровочная инвариантность

Симметрия в физике
Преобразование	Соответствующая инвариантность	Соответствующий закон сохранения
↕ Трансляции времени	Однородность времени	…энергии
⊠ C, P, CP и T-симметрии	Изотропность времени	…чётности
↔ Трансляции пространства	Однородность пространства	…импульса
↺ Вращения пространства	Изотропность пространства	…момента импульса
⇆ Группа Лоренца (бусты)	Относительность лоренц-ковариантность	…движения центра масс
~ Калибровочное преобразование	Калибровочная инвариантность	…заряда

Физическая теория утверждает, что каждый закон сохранения основан на соответствующем фундаментальном принципе симметрии. Со свойствами симметрий пространства-времени связаны законы сохранения энергии, импульса и момента импульса. Законы сохранения электрического, барионного и лептонного зарядов связаны не со свойствами пространства-времени, а с симметрией физических законов относительно фазовых преобразований в абстрактном пространстве квантовомеханических операторов и векторов состояний. Заряженные поля в квантовой теории поля описываются комплексной волновой функцией ${\displaystyle \phi (x)=|\phi (x)|e^{i\psi (x)}}$, где x — пространственно-временная координата. Частицам с противоположными зарядами соответствуют функции поля, различающиеся знаком фазы ${\displaystyle \psi }$, которую можно считать угловой координатой в некотором фиктивном двумерном «зарядовом пространстве». Закон сохранения заряда является следствием инвариантности лагранжиана относительно глобального калибровочного преобразования типа ${\displaystyle \phi '=e^{i\alpha Q}\phi }$, где Q — заряд частицы, описываемой полем ${\displaystyle \phi }$, а ${\displaystyle \alpha }$ — произвольное вещественное число, являющееся параметром и не зависящее от пространственно-временных координат частицы^[3]. Такие преобразования не меняют модуля функции, поэтому они называются унитарными U(1).^[4][5]

Математический формализм

Предположим, что поле описывается комплексной величиной ${\displaystyle \psi }$ (волновая функция) и функция Лагранжа инвариантна относительно калибровочных преобразований ${\displaystyle \psi \to \psi e^{i\alpha }}$, ${\displaystyle \psi ^{*}\to \psi ^{*}e^{-i\alpha }}$. При этом преобразовании все физически наблюдаемые величины (например, плотность вероятности ${\displaystyle \psi ^{*}\psi }$, энергия и импульс) не изменяются. Такое поле можно рассматривать как носитель заряда ${\displaystyle \rho =-i\epsilon \left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\psi }}}}\psi -{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\psi ^{*}}}}}\psi ^{*}\right)}$ и тока ${\displaystyle s_{k}=-i\epsilon \left({\frac {\partial L}{\partial {\frac {\partial \psi }{\partial x_{k}}}}}\psi -{\frac {\partial L}{\partial {\frac {\partial \psi ^{*}}{\partial x_{k}}}}}\psi ^{*}\right)}$, которые удовлетворяют уравнению непрерывности:${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\textrm {div}}{\textbf {s}}=0}$^[6]

Другие соображения

Предположим, что нам известен процесс, нарушающий закон сохранения заряда, в ходе которого, затратив энергию ${\displaystyle E}$, можно создать заряд ${\displaystyle e}$. Пользуясь этим процессом, создадим заряд ${\displaystyle e}$, затратив энергию ${\displaystyle E}$ в клетке Фарадея с потенциалом ${\displaystyle \varphi }$. Извлечём затем созданный заряд и переместим его подальше от клетки. Получим энергию в виде работы электростатических сил ${\displaystyle e\varphi }$. Обратим теперь процесс создания заряда и получим ранее затраченную энергию ${\displaystyle E}$. Повторяя такой процеcc, можно создать вечный двигатель I рода. Следовательно, допущение о возможности нарушения закона сохранения электрического заряда является ложным. Данное рассуждение показывает связь между законом сохранения электрического заряда и предположением о ненаблюдаемости абсолютной величины электрического потенциала.^[7]

Закон сохранения заряда в интегральной форме

Вспомним, что плотность потока электрического заряда есть просто плотность тока. Тот факт, что изменение заряда в объёме равно полному току через поверхность, можно записать в математической форме:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\int \limits _{\Omega }\rho dV=-\oint \limits _{\partial \Omega }{\vec {j}}\cdot d{\vec {S\ }}.}$

Здесь ${\displaystyle \Omega }$ — некоторая произвольная область в трёхмерном пространстве, ${\displaystyle \partial \Omega }$ — граница этой области, ${\displaystyle \rho }$ — плотность заряда, ${\displaystyle {\vec {j}}}$ — плотность тока (плотность потока электрического заряда) через границу.

Закон сохранения заряда в дифференциальной форме

Переходя к бесконечно малому объёму и используя по мере необходимости теорему Остроградского — Гаусса, можно переписать закон сохранения заряда в локальной дифференциальной форме (уравнение непрерывности):

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\mbox{div}}{\vec {j}}=0.}$

Закон сохранения заряда в электронике

Правила Кирхгофа для токов напрямую следуют из закона сохранения заряда. Объединение проводников и радиоэлектронных компонентов представляется в виде незамкнутой системы. Суммарный приток зарядов в данную систему равен суммарному выходу зарядов из системы. В правилах Кирхгофа предполагается, что электронная система не может значительно изменять свой суммарный заряд.

Экспериментальная проверка несохранения заряда

Наилучшей экспериментальной проверкой закона сохранения электрического заряда является поиск таких распадов элементарных частиц, которые были бы разрешены в случае нестрогого сохранения заряда. Такие распады никогда не наблюдались^[8]. Лучшее экспериментальное ограничение на вероятность нарушения закона сохранения электрического заряда получено из поиска фотона с энергией равной половине массы покоя электрона m_ec²/2 ≈ 255 кэВ, возникающего в гипотетическом распаде электрона на нейтрино и фотон — в этом гипотетическом процессе распада электрона предполагаются сохранения импульса, момента импульса, энергии и лептонного заряда:

e → νγ

время жизни «возбуждённого» состояния электрона по результатам измерений больше 6,6⋅1028 лет (90 % CL)[9][10]

однако существуют теоретические аргументы в пользу того, что такой однофотонный распад не может происходить даже в случае, если заряд не сохраняется^[11]. Другой необычный несохраняющий заряд процесс — спонтанное превращение электрона в позитрон^[12] и исчезновение заряда (переход в дополнительные измерения, туннелирование с браны и т. п.). Наилучшие экспериментальные ограничения на исчезновение электрона вместе с электрическим зарядом и на бета-распад нейтрона без эмиссии электрона:

	e → любые частицы	время жизни больше 6,4⋅1024 лет (68 % CL)[13]
	n → pνν	относительная вероятность несохраняющего заряд распада менее 8⋅10−27 (68 % CL) при бета-распаде нейтрона в ядре галлия-71, превращающегося при этом в германий-71[14]

Примечания

1. Яворский Б. М. «Справочник по физике для инженеров и студентов вузов» / Б. М. Яворский, А. А. Детлаф, А. К. Лебедев, 8-е изд., М., ООО «Издательство Оникс», ООО «Издательство Мир и образование», 2006, ISBN 5-488-00330-4 (ООО «Издательство Оникс»), ISBN 5-94666-260-0 (ООО «Издательство Мир и образование»), ISBN 985-13-5975-0 (ООО «Харвест»), УДК 530(035) ББК 22.3, Разд. VII «Основы ядерной физики и физики элементарных частиц», Гл. 4 «Элементарные частицы», п. 3 «Гравитация. Квантовая электродинамика.», с. 952;
2. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. «Теоретическая физика», учебн. пособ. для вузов, в 10 т. / т. 4, «Квантовая электродинамика», 4-е изд., исправл., М., «Физматлит», 2001, 720 с., тир. 2000 экз., ISBN 5-9221-0058-0 (т. 4), гл. 5 «Излучение», п. 43 «Оператор электромагнитного взаимодействия», с. 187—190.
3. Наумов А. И. Физика атомного ядра и элементарных частиц. - М., Просвещение, 1984. - С. 281-282
4. Окунь Л. Б.Лептоны и кварки, изд 3-е, стереотипное, М.: Едиториал УРСС, 2005, 352 с., ISBN 5-354-01084-5, гл. 19 Калибровочная инвариантность. Глобальная абелева симметрия U(1)., с. 179
5. Яворский Б. М. Справочник по физике для инженеров и студентов вузов. / Б. М. Яворский, А. А. Детлаф, А. К. Лебедев, 8-е изд. перераб. и испр., М., ООО «Издательство Оникс», ООО «Издательство Мир и Образование», 2006, 1056 стр., ил., ISBN 5-488-00330-4 (ООО «Издательство Оникс»), ISBN 5-94666-260-0 (Издательство «Мир и Образование»), ISBN 985-13-5975-0 (ООО «Харвест»), Раздел VII. Основы ядерной физики и физики элементарных частиц. Глава 4. «Элементарные частицы» п. 1 «Принципы теории» стр. 912—925.
6. Г. Вентцель Введение в квантовую теорию волновых полей. - М., ОГИЗ, 1947. - с. 23-24
7. Вигнер Э.И. Инвариантность и законы сохранения. Этюды о симметрии. — М.: Едиториал УРСС, 2002. — С. 17-18. — ISBN 5-354-00191-9.
8. J. Beringer^[англ.] et al. Tests of Conservation Laws (англ.) // Phys. Rev. D : journal. — 2012. — Vol. 86. — P. 010001. Архивировано 12 мая 2013 года.
9. Agostini, M.; (Borexino Coll.) et al. Test of Electric Charge Conservation with Borexino (англ.) // Physical Review Letters : journal. — 2015. — Vol. 115, no. 23. — P. 231802. — doi:10.1103/PhysRevLett.115.231802. — arXiv:1509.01223.
10. Back, H. O.; (Borexino Coll.) et al. Search for electron decay mode e → γ + ν with prototype of Borexino detector (англ.) // Physics Letters B^[англ.] : journal. — 2002. — Vol. 525, no. 1—2. — P. 29—40. — doi:10.1016/S0370-2693(01)01440-X. — Bibcode: 2002PhLB..525...29B. Архивировано 4 января 2013 года.
11. Okun L. B. Comments on Testing Charge Conservation and Pauli Exclusion Principle (англ.) // Comments on Nuclear and Particle Physics : journal. — 1989. — Vol. 19, no. 3. — P. 99—116. Архивировано 14 февраля 2022 года.
12. Mohapatra R. N. Possible Nonconservation of Electric Charge (англ.) // Physical Review Letters : journal. — 1987. — Vol. 59, no. 14. — P. 1510—1512. — doi:10.1103/PhysRevLett.59.1510. — Bibcode: 1987PhRvL..59.1510M. (недоступная ссылка)
13. Belli P.^[англ.] et al. Charge non-conservation restrictions from the nuclear levels excitation of ¹²⁹Xe induced by the electron's decay on the atomic shell (англ.) // Physics Letters B^[англ.] : journal. — 1999. — Vol. 465, no. 1—4. — P. 315—322. — doi:10.1016/S0370-2693(99)01091-6. — Bibcode: 1999PhLB..465..315B. Архивировано 4 января 2013 года..
14. Norman E.B., Bahcall J.N., Goldhaber M. Improved limit on charge conservation derived from ⁷¹Ga solar neutrino experiments (англ.) // Physical Review : journal. — 1996. — Vol. D53, no. 7. — P. 4086—4088. — doi:10.1103/PhysRevD.53.4086. — Bibcode: 1996PhRvD..53.4086N. (недоступная ссылка)