Группа узла

Группа узла — характеристика узла, определяемая как фундаментальная группа его дополнения.

Определение

Пусть ${\displaystyle K\subset \mathbb {R} ^{3}}$ есть узел. Тогда группа узла определяется как фундаментальная группа ${\displaystyle \pi _{1}(\mathbb {R} ^{3}\setminus K)}$.^[1].

Комментарий

По другим соглашениям узел рассматривается как вложение окружности в 3-сферу. В этом случае группу узла определяют как фундаментальную группу его дополнения в ${\displaystyle S^{3}}$. Оба определения дают изоморфные группы.

Свойства

• Два эквивалентных узла имеют изоморфные группы узлов, так что группа узла является инвариантом узла и может быть использована для установления неэквивалентности пары узлов. Однако два неэквивалентных узла могут иметь изоморфные группы узлов (см. пример ниже).

• Абелианизация группы узла всегда изоморфна бесконечной циклической группе ${\displaystyle \mathbb {Z} }$. Это следует из того, что абелизация совпадает с первой группой гомологий, которую легко вычислить.

• Группу узлов (а также фундаментальную группу ориентированных зацеплений в общем случае) можно вычислить с помощью сравнительно простых алгоритмов, используя представление Виртингера^[англ.].

Примеры

• Группа тривиального узла изоморфна ${\displaystyle \mathbb {Z} }$.
  • Обратное также верно.
• Группа трилистника изоморфна группе кос ${\displaystyle B^{3}}$, эта группа имеет задание:

  ${\displaystyle \langle x,y\mid x^{2}=y^{3}\rangle }$ или ${\displaystyle \langle a,b\mid aba=bab\rangle }$.

• Группа ${\displaystyle (p,q)}$-торического узла обладает заданием:

  ${\displaystyle \langle x,y\mid x^{p}=y^{q}\rangle }$.

• Группа восьмёрки имеет задание:

  ${\displaystyle \langle x,y\mid yxy^{-1}xy=xyx^{-1}yx\rangle }$.

• Прямой узел и бабий узел имеют изоморфные группы узлов, но узлы эти не эквивалентны.

См. также

• Группа зацепления^[англ.]

Примечания

1. Болтянский, 1982, с. 119.

Литература

• Узлов и зацеплений группы — статья из Математической энциклопедии
• Болтянский В.Г.,Ефремович В.А. Наглядная топология. — М.: Наука, 1982. — 160 с.