Гомеоморфизм

Не следует путать с гомоморфизмом.

Гомеоморфи́зм — непрерывная биекция с непрерывной обратной. Является центральным понятием топологии.

Гомеоморфность кружки и бублика (полнотория)

Примерами гомеоморфизмов являются подобия геометрических фигур и изометрии метрических пространств. Однако в общем случае они не обязаны сохранять геометрические свойства. Так, гомеоморфизмы могут изменять углы, длины, площади, объёмы и кривизну, растягивать объекты, скручивать, мять и изгибать.

Пространства называются гомеомо́рфными, если между ними существует гомеоморфизм. Все топологические свойства гомеоморфных пространств одинаковы, поэтому с точки зрения топологии такие пространства неразличимы.

С точки зрения теории категорий гомеоморфизмы являются изоморфизмами в категории топологических пространств. Иными словами, гомеоморфизм устанавливает взаимно однозначное соответствие между топологическими структурами.

Термин «гомеоморфизм» происходит от сочетания двух древнегреческих слов: ὅμοιος — похожий и μορφή — форма.

Определение

Пусть ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}}_{X})}$ и ${\displaystyle (Y,{\mathcal {T}}_{Y})}$ — два топологических пространства. Функция ${\displaystyle f:X\to Y}$ называется гомеоморфизмом, если:

• ${\displaystyle f}$ взаимно однозначна;
• ${\displaystyle f}$ непрерывна;
• обратная функция ${\displaystyle f^{-1}}$ непрерывна.

Иными словами, ${\displaystyle f}$ биективна и для любого подмножества ${\displaystyle A\subseteq X}$ условие ${\displaystyle A\in {\mathcal {T}}_{X}}$ выполняется в том и только в том случае, если ${\displaystyle f(A)\in {\mathcal {T}}_{Y}}$.

Если между пространствами ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ существует гомеоморфизм, то пишут ${\displaystyle X\simeq Y}$ или ${\displaystyle X\cong Y}$ и называют их гомеоморфными или топологически эквивалентными. Гомеоморфизм из пространства в себя называется его автогомеоморфизмом.

Примеры

• На плоскости любые два выпуклых многоугольника гомеоморфны.
• Пространства разной мощности не гомеоморфны. Два пространства, наделённых дискретной топологией, гомеоморфны тогда и только тогда, когда они равномощны.
• Произвольный открытый интервал ${\displaystyle (a,b)\subset \mathbb {R} }$ гомеоморфен всей вещественной прямой ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Гомеоморфизм ${\displaystyle f:(a,b)\to \mathbb {R} }$ задаётся, например, формулой

${\displaystyle f(x)=\mathrm {ctg} \left(\pi {\frac {x-a}{b-a}}\right).}$

В частности, любые два открытых интервала гомеоморфны.

• Отрезок ${\displaystyle [0,\;1]}$ не гомеоморфен вещественной прямой ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Это связано с тем, что отрезок компактен, а прямая — нет.
• Если ${\displaystyle n\neq m}$, то ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\not \cong \mathbb {R} ^{m}}$.
• Теорема о гомеоморфизме^{[источник не указан 643 дня]}. Пусть ${\displaystyle |a,b|\subset \mathbb {R} }$ — интервал на числовой прямой (открытый, полуоткрытый или замкнутый). Пусть ${\displaystyle f:|a,b|\to f{\bigl (}|a,b|{\bigr )}\subset \mathbb {R} }$ — биекция. Тогда ${\displaystyle f}$ является гомеоморфизмом тогда и только тогда, когда ${\displaystyle f}$ строго монотонна и непрерывна на ${\displaystyle |a,b|.}$

Топологические инварианты и свойства

Характеристика топологических пространств, которая принимает одинаковое значение на гомеоморфных пространствах, называется топологическим инвариантом. Примерами таких характеристик являются: количество компонент связности, размерность, эйлерова характеристика, числа Бетти, фундаментальная группа, группы гомологий и когомологий, гомотопические группы.

Аналогично определяются топологические свойства, то есть свойство пространства называется топологическим, если оно сохраняется при гомеоморфизмах. Примерами таких свойств являются: метризуемость, все виды отделимости, связность и линейная связность, компактность, односвязность, свойство быть топологическим многообразием.

Некоторые топологические инварианты и свойства определены лишь для пространств особого типа. Примером такого инварианта является род поверхности. Кроме того, ориентируемость является свойством многообразия.

Локальный гомеоморфизм

Непрерывное отображение ${\displaystyle f:X\to Y}$ топологических пространств называется локальным гомеоморфизмом, если у каждой точки пространства ${\displaystyle X}$ имеется такая окрестность ${\displaystyle U}$, что образ ${\displaystyle f(U)}$ открыт в ${\displaystyle Y}$ и сужение ${\displaystyle f|_{U}:U\to f(U)}$ является гомеоморфизмом^[1].

Любой гомеоморфизм является локальным гомеоморфизмом, однако обратное неверно. Так, локальный гомеоморфизм является гомеоморфизмом тогда и только тогда, когда он биективен.

Например, отображение ${\displaystyle x\to (\cos x,\sin x)}$ является локальным гомеоморфизмом из вещественной прямой ${\displaystyle {\mathbb {R} }}$ в окружность ${\displaystyle S^{1}}$. Более того, каждое накрытие является локальным гомеоморфизмом. Кроме того, среди тождественных вложений ${\displaystyle (0,1)\to {\mathbb {R} }}$ и ${\displaystyle [0,1]\to {\mathbb {R} }}$ первое является локальным гомеоморфизмом, а второе — нет.

Локальные гомеоморфизмы не обязательно сохраняют топологические свойства. Однако если между топологическими пространствами существует локальный гомеоморфизм, то они имеют одинаковые так называемые локальные свойства. Среди них: локальная связность, локальная линейная связность, локальная компактность, локальная односвязность и локальная метризуемость.

См. также

• Словарь терминов общей топологии
• Диффеоморфизм
• Универсальный гомеоморфизм

Примечания

1. Виро и др., 2012, с. 204.

Литература

• Зорич В. А. Математический анализ. — М. : Наука, 1984. — Т. 2. — С. 41.
• Васильев В. А. Введение в топологию. — М. : ФАЗИС, 1997. — Вып. 3. — xii + 132 с. — (Библиотека студента-математика). — ISBN 5-7036-0036-7.
• Тимофеева Н. В. Дифференциальная геометрия и элементы топологии. — ЯГПУ, 2007.
• Болтянский В. Г., Ефремович В. А. Наглядная топология. — М.: Наука, 1982. — 160 с.
• Виро О. Я., Иванов О. А., Нецветаев Н. Ю., Харламов В. М.. Элементарная топология (рус.). — 2-е изд., исправл.. — М.: МЦНМО, 2012. — ISBN 978-5-94057-894-9.

Ссылки

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Homeomorphism", Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4