Loading AI tools
Из Википедии, свободной энциклопедии
Векторным расслоением называется определённая геометрическая конструкция, соответствующая семейству векторных пространств, параметризованных другим пространством (например, может быть топологическим пространством, многообразием или алгебраической структурой): каждой точке пространства сопоставляется векторное пространство так, что их объединение образует пространство такого же типа, как и (топологическое пространство, многообразие или алгебраическую структуру и т. п.), называемое пространством векторного расслоения над . Само пространство называется базой расслоения.
Векторное расслоение является особым типом локально тривиальных расслоений, которые в свою очередь являются особым типом расслоений.
Обычно рассматривают векторные пространства над вещественными или комплексными числами. В таком случае векторные расслоения называются соответственно вещественными или комплексными. Комплексные векторные расслоения можно рассматривать как вещественные с дополнительно введённой структурой.
Векторное расслоение — это локально тривиальное расслоение, у которого слой является векторным пространством, со структурной группой обратимых линейных преобразований .
Морфизм из векторного расслоения в векторное расслоение задается парой непрерывных отображений и таких, что
Заметим, что определяется (так как — сюръекция); в таком случае говорят, что покрывает .
Класс всех векторных расслоений вместе с морфизмами расслоений образует категорию. Ограничиваясь векторными расслоениями, являющимися гладкими многообразиями, и гладкими морфизмами расслоений, мы получим категорию гладких векторных расслоений. Морфизмы векторных расслоений — частный случай отображения расслоений между локально тривиальными расслоениями, их часто называют гомоморфизмом (векторных) расслоений.
Гомоморфизм расслоений из в вместе с обратным гомоморфизмом называется изоморфизмом (векторных) расслоений. В таком случае расслоения и называют изоморфными. Изоморфизм векторного расслоения (ранга ) над на тривиальное расслоение (ранга над ) называется тривиализацией , при этом называют тривиальным (или тривиализуемым). Из определения векторного расслоения видно, что любое векторное расслоение локально тривиально.
Большинство операций над векторными пространствами могут быть продолжены на векторные расслоения, выполняясь поточечно.
Например, если — векторное расслоение на , то существует расслоение на , называемое сопряжённым расслоением, слой которого в точке — это сопряженное векторное пространство . Формально можно определить как множество пар , где и . Сопряженное расслоение локально тривиально.
Существует много функториальных операций, выполняемых над парами векторных пространств (над одним полем). Они напрямую продолжаются на пары векторных расслоений на (над заданным полем). Вот несколько примеров.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.