Теория категорий

Запрос «Категория (математика)»^{[[d:Q719395#sitelinks-wikipedia|[d]]]} перенаправляется сюда. На эту тему нужно создать отдельную статью.

Тео́рия катего́рий — раздел математики, изучающий свойства отношений между математическими объектами, не зависящие от внутренней структуры объектов.

Схематическое обозначение объектов категории X, Y, Z и морфизмов f, g, g ∘ f.

Теория категорий занимает центральное место в современной математике^[1], она также нашла применения в информатике^[2], логике^[3] и в теоретической физике^[4][5]. Современное изложение алгебраической геометрии и гомологической алгебры существенно опирается на понятия теории категорий. Общекатегорийные понятия также активно используются в языке функционального программирования Haskell^[6]. Была создана Саундерсом Маклейном и Самуэлем Эйленбергом.

Определение

Категория ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ — это:

• класс объектов ${\displaystyle \mathrm {Ob} _{\mathcal {C}}}$;
• для каждой пары объектов ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ задано множество морфизмов (или стрелок) ${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(A,B)}$, причём каждому морфизму соответствуют единственные ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$;
• для пары морфизмов ${\displaystyle f\in \mathrm {Hom} (A,B)}$ и ${\displaystyle g\in \mathrm {Hom} (B,C)}$ определена композиция ${\displaystyle g\circ f\in \mathrm {Hom} (A,C)}$;
• для каждого объекта ${\displaystyle A}$ задан тождественный морфизм ${\displaystyle \mathrm {id} _{A}\in \mathrm {Hom} (A,A)}$;

причём выполняются две аксиомы:

• операция композиции ассоциативна: ${\displaystyle h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f}$ и
• тождественный морфизм действует тривиально: ${\displaystyle f\circ \mathrm {id} _{A}=\mathrm {id} _{B}\circ f=f}$ для ${\displaystyle f\in \mathrm {Hom} (A,B)}$

Малая категория

Основная статья: Категория малых категорий

Класс объектов не обязательно является множеством в смысле аксиоматической теории множеств. Категория ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, в которой ${\displaystyle \mathrm {Ob} _{\mathcal {C}}}$ является множеством и ${\displaystyle \mathrm {Hom} ({\mathcal {C}})}$ (совокупность всех морфизмов категории) является множеством, называется малой. Кроме того, возможно (с небольшим исправлением определения) рассмотрение категорий, в которых морфизмы между любыми двумя объектами также образуют класс или даже большую структуру^[7]. В этом варианте определения категория, в которой морфизмы между двумя зафиксированными объектами образуют множество, называется локально малой.

Примеры категорий

• Set — категория множеств. Объектами в этой категории являются множества, морфизмами — отображения множеств.
• Grp — категория групп. Объектами являются группы, морфизмами — отображения, сохраняющие групповую структуру (гомоморфизмы групп).
• Vect_K — категория векторных пространств над полем K. Морфизмы — линейные отображения.
• Категория модулей.
• DE — категория дифференциальных уравнений.

Аналогично определяются категории для других алгебраических систем.

• Top — категория топологических пространств. Морфизмы — непрерывные отображения.
• Для любого частично упорядоченного множества можно построить малую категорию, объектами которой являются элементы множества, причём между элементами x и y существует единственный морфизм тогда и только тогда, когда x≤y (разумеется, следует отличать эту категорию от категории частично упорядоченных множеств!).
• Met — категория, объектами которой являются метрические пространства, а морфизмами — короткие отображения.

Коммутативные диаграммы

Стандартным способом описания утверждений теории категорий являются коммутативные диаграммы. Коммутативная диаграмма — это ориентированный граф, в вершинах которого находятся объекты, а стрелками являются морфизмы, причём результат композиции стрелок не зависит от выбранного пути. Например, аксиомы теории категорий (ассоциативность композиции и свойство тождественного морфизма) можно записать с помощью диаграмм:

Диаграмма аксиом категорий

Двойственность

Для категории ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ можно определить двойственную категорию ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{op}}$, в которой:

• объекты совпадают с объектами исходной категории;
• морфизмы получаются «обращением стрелок»: ${\displaystyle \mathrm {Hom} _{{\mathcal {C}}^{op}}(B,A)\simeq \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(A,B)}$

Принцип двойственности гласит, что для любого утверждения теории категорий можно сформулировать двойственное утверждение с помощью обращения стрелок, при этом истинность утверждения не изменится. Часто двойственное понятие обозначается тем же термином с приставкой ко- (см. примеры дальше).

Основные определения и свойства

Изоморфизм, эндоморфизм, автоморфизм

Морфизм ${\displaystyle f\in \mathrm {Hom} (A,B)}$ называется изоморфизмом, если существует такой морфизм ${\displaystyle g\in \mathrm {Hom} (B,A)}$, что ${\displaystyle g\circ f=\mathrm {id} _{A}}$ и ${\displaystyle f\circ g=\mathrm {id} _{B}}$. Два объекта, между которыми существует изоморфизм, называются изоморфными. В частности, тождественный морфизм является изоморфизмом, поэтому любой объект изоморфен сам себе.

Морфизмы, в которых начало и конец совпадают, называют эндоморфизмами. Множество эндоморфизмов ${\displaystyle \mathrm {End} (A)=\mathrm {Hom} (A,A)}$ является моноидом относительно операции композиции с единичным элементом ${\displaystyle \mathrm {id} _{A}}$.

Эндоморфизмы, которые одновременно являются изоморфизмами, называются автоморфизмами. Автоморфизмы любого объекта образуют группу автоморфизмов ${\displaystyle \mathrm {Aut} (A)}$ по композиции.

Мономорфизм, эпиморфизм, биморфизм

Мономорфизм — это морфизм ${\displaystyle f\in \mathrm {Hom} (A,B)}$ такой, что для любых ${\displaystyle g_{1},g_{2}\in \mathrm {Hom} (X,A)}$ из ${\displaystyle f\circ g_{1}=f\circ g_{2}}$ следует, что ${\displaystyle g_{1}=g_{2}}$. Композиция мономорфизмов есть мономорфизм.

Эпиморфизм — это такой морфизм ${\displaystyle f\in \mathrm {Hom} (A,B)}$, что для любых ${\displaystyle g_{1},g_{2}\in \mathrm {Hom} (B,X)}$ из ${\displaystyle g_{1}\circ f=g_{2}\circ f}$ следует ${\displaystyle g_{1}=g_{2}}$. Композиция эпиморфизмов есть эпиморфизм.

Биморфизм — это морфизм, являющийся одновременно мономорфизмом и эпиморфизмом. Любой изоморфизм есть биморфизм, но не любой биморфизм есть изоморфизм.

Мономорфизм, эпиморфизм и биморфизм являются обобщениями понятий инъективного, сюръективного и биективного отображения соответственно. Любой изоморфизм является мономорфизмом и эпиморфизмом, обратное, вообще говоря, верно не для всех категорий.

Инициальный и терминальный объекты

Инициальный (начальный, универсально отталкивающий) объект категории — это такой объект, из которого в любой объект категории существует единственный морфизм.

Если инициальные объекты в категории существуют, то все они изоморфны.

Двойственным образом определяется терминальный или универсально притягивающий объект — это такой объект, в который из любого объекта категории существует единственный морфизм.

Объект категории называется нулевым, если он одновременно инициальный и терминальный.

Пример: В категории Set инициальным объектом является пустое множество ${\displaystyle \varnothing }$, терминальным — любое множество из одного элемента ${\displaystyle \{\cdot \}}$.

Пример: В категории Grp существует нулевой объект — это группа из одного элемента.

Произведение и сумма объектов

Прямое произведение

Произведение (пары) объектов A и B — это объект ${\displaystyle A\times B}$ с морфизмами ${\displaystyle p_{1}:A\times B\to A}$ и ${\displaystyle p_{2}:A\times B\to B}$ такими, что для любого объекта ${\displaystyle C}$ с морфизмами ${\displaystyle f_{1}:C\to A}$ и ${\displaystyle f_{2}:C\to B}$ существует единственный морфизм ${\displaystyle g:C\to A\times B}$ такой, что диаграмма, изображённая справа, коммутативна. Морфизмы ${\displaystyle p_{1}:A\times B\to A}$ и ${\displaystyle p_{2}:A\times B\to B}$ называются проекциями.

Двойственно определяется сумма или копроизведение ${\displaystyle A+B}$ объектов ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$. Соответствующие морфизмы ${\displaystyle \imath _{A}:A\to A+B}$ и ${\displaystyle \imath _{B}:B\to A+B}$ называются вложениями. Несмотря на своё название, в общем случае они могут и не быть мономорфизмами.

Если произведение и копроизведение существуют, то они определяются однозначно с точностью до изоморфизма.

Пример: В категории Set произведение A и B — это прямое произведение в смысле теории множеств ${\displaystyle A\times B}$, а сумма — дизъюнктное объединение ${\displaystyle A\sqcup B}$.

Пример: В категории колец Ring сумма — это тензорное произведение ${\displaystyle A\otimes B}$, а произведение — прямая сумма колец ${\displaystyle A\oplus B}$.

Пример: В категории Vect_K (конечные) произведение и сумма изоморфны — это прямая сумма векторных пространств ${\displaystyle A\oplus B}$.

Несложно определить аналогичным образом произведение любого семейства объектов ${\displaystyle \prod _{i\in I}A_{i}}$. Бесконечные произведения устроены в общем случае гораздо сложнее, чем конечные. Например, в то время как конечные произведения и копроизведения в Vect_K изоморфны прямым суммам, бесконечные произведения и копроизведения не являются изоморфными. Элементами бесконечного произведения ${\displaystyle \prod _{i\in I}V_{i}}$ являются произвольные бесконечные последовательности элементов ${\displaystyle v_{i}\in V_{i}}$, в то время как элементами бесконечного копроизведения ${\displaystyle \coprod _{i\in I}V_{i}}$ являются последовательности, в которых лишь конечное число членов — ненулевые.

Функторы

Основная статья: Функтор (математика)

Функторы — это отображения категорий, сохраняющие структуру. Точнее,

(Ковариантный) функтор ${\displaystyle {\mathcal {F}}:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$ ставит в соответствие каждому объекту категории ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ объект категории ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ и каждому морфизму ${\displaystyle f:A\to B}$ морфизм ${\displaystyle F(f):{\mathcal {F}}(A)\to {\mathcal {F}}(B)}$ так, что

• ${\displaystyle F(\mathrm {id} _{A})=\mathrm {id} _{F(A)}}$ и
• ${\displaystyle F(g)\circ F(f)=F(g\circ f)}$.

Контравариантный функтор, или кофунктор можно понимать как ковариантный функтор из ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ в ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{op}}$ (или из ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{op}}$ в ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$), то есть «функтор, переворачивающий стрелки». А именно, каждому морфизму ${\displaystyle f:A\to B}$ он сопоставляет морфизм ${\displaystyle F(f):{\mathcal {F}}(B)\to {\mathcal {F}}(A)}$, соответственным образом обращается правило композиции: ${\displaystyle F(g)\circ F(f)=F(f\circ g)}$.

Естественные преобразования

Основная статья: Естественное преобразование

Понятие естественного преобразования выражает связь между двумя функторами. Функторы часто описывают «естественные конструкции», в этом смысле естественные преобразования описывают «естественные морфизмы» таких конструкций.

Если ${\displaystyle F}$ и ${\displaystyle G}$ — ковариантные функторы из категории ${\displaystyle C}$ в ${\displaystyle D}$, то естественное преобразование ${\displaystyle \eta }$ сопоставляет каждому объекту ${\displaystyle X}$ категории ${\displaystyle C}$ морфизм ${\displaystyle \eta _{X}:F(X)\to G(X)}$ таким образом, что для любого морфизма ${\displaystyle f:X\to Y}$ в категории ${\displaystyle C}$ следующая диаграмма коммутативна:

Commutative diagram defining natural transformations

Два функтора называются естественно изоморфными, если между ними существует естественное преобразование, такое что ${\displaystyle \eta _{X}}$ — изоморфизм для любого ${\displaystyle X}$.

Некоторые типы категорий

• Моноидальные категории
• Абелевы категории
• Топосы

См. также

• Категория Бэра
• Универсальное свойство
• Предел
• Сопряжённые функторы
• Монады
• Категория (философия)

Примечания

1. Хелемский, 2004.
2. Rydeheard, Burstall, 1988.
3. Голдблатт, 1983.
4. Родин, 2010.
5. Иванов.
6. Category theory in Haskell.
7. J. Adámek, H. Herrlich, G. E. Strecker Abstract and concrete categories: The joy of cats Архивная копия от 25 марта 2010 на Wayback Machine, — New York: John Wiley and Sons, — 1990.

Ссылки

• «Category Theory» in Stanford Encyclopedia of Philosophy (англ.).
• И. Иванов. Нужна ли физикам теория категорий?  (рус.) Элементы (10 сентября 2008).
• Category theory in Haskell (англ.). Дата обращения: 13 марта 2011. Архивировано 23 августа 2011 года.

Литература

• С. Мак Лейн [Maclane S.] Категории для работающего математика (рус.). — Москва: Физматлит, 2004.
• С. Мак Лейн [Maclane S.] Гомология (рус.). — Москва: Мир, 1966. — Т. 114. — (Springer-Verlag — Grundlehren der mathematischen wissenschaften).
• Цаленко М. С., Шульгейфер Е. Г. Категории (рус.). — 1969. — Т. 06. — (ВИНИТИ — Итоги науки и техники, Алгебра-Топология-Геометрия).
• Цаленко М. С., Шульгейфер Е. Г. Лекции по теории категорий (рус.). — Москва: Наука, 1970.
• Цаленко М. С., Шульгейфер Е. Г. Основы теории категорий (рус.). — Москва: Наука, 1974.
• Букур И., Деляну А. Введение в теорию категорий и функторов (рус.). — Москва: Мир, 1972. — С. 259.
• Фейс [Faith C.] том 1 // Алгебра — кольца, модули и категории (рус.). — Москва: Мир, 1977. — Т. 190. — (Springer-Verlag — Grundlehren der mathematischen wissenschaften).
• Фейс [Faith C.] том 2 // Алгебра — кольца, модули и категории (рус.). — Москва: Мир, 1977. — Т. 191. — (Springer-Verlag — Grundlehren der mathematischen wissenschaften).
• Габриель [Gabriel P.], Цисман [Zisman M.] Категории частных и теория гомотопий (рус.). — Москва: Мир, 1977. — Т. 35. — (Springer-Verlag — Grundlehren der mathematischen wissenschaften).
• Голдблатт [Goldblatt R.] Топосы — категорный анализ логики (рус.). — 1983. — Т. 98. — (Studies in logic & foundation of mathematics).
• Фултон Е, Мак-Фёрсон Р. Категорный подход к изучению пространств с особенностями (рус.) / под ред. Бухштабер В. М.. — 1983. — Т. 33. — (Новое в зарубежной науке, математика).
• Артамонов В. А., Салий В. Н., Скорняков Л. А., Шеврин Л. Н., Шульгейфер Е. Г. Общая алгебра (рус.). — Москва: Наука, 1991. — Т. 2. — 480 с. — (Новое в зарубежной науке, математика). — 25 500 экз. — ISBN 5-02-014427-4.
• D. E. Rydeheard, R. M. Burstall. Computational Category Theory (англ.). — New York: Prentice Hall, 1988. — 257 p. — ISBN 0-13-162736-8.
• Хелемский А. Я. Лекции по функциональному анализу (рус.). — Москва: МЦНМО, 2004. — ISBN 5-94057-065-8.
• Р. Голдблатт. Топосы. Категорный анализ логики = Topoi. The categorial analysis of logic (рус.). — Москва: Мир, 1983. — 488 с.
• Родин А. В. Теория категорий и поиски новых математических оснований физики // Вопросы философии. — 2010. — № 7. — С. 67.