![cover image](https://wikiwandv2-19431.kxcdn.com/_next/image?url=https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1b/Complex_zeta.jpg/640px-Complex_zeta.jpg&w=640&q=50)
Аналитическая теория чисел
раздел теории чисел / Материал из Википедии — свободной encyclopedia
Аналитическая теория чисел — раздел теории чисел, в котором свойства целых чисел исследуются методами математического анализа. Наиболее известные результаты относятся к исследованию распределения простых чисел и аддитивным проблемам Гольдбаха и Варинга.
![Thumb image](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1b/Complex_zeta.jpg/640px-Complex_zeta.jpg)
Первым шагом в этом направлении стал метод производящих функций, сформулированный Эйлером. Для определения количества целочисленных неотрицательных решений линейного уравнения вида
где — натуральные числа, Эйлер построил производящую функцию, которая определяется как произведение сходящихся рядов (при
)
и является суммой членов геометрической прогрессии, при этом
где — число решений изучаемого уравнения.[1]
В работе над квадратичным законом взаимности Гаусс рассмотрел конечные суммы вида
которые положили начало использованию тригонометрических сумм[1]. Основы методов применения тригонометрических сумм к анализу уравнений в целых и простых числах были разработаны Харди, Литтлвудом и Виноградовым.
Работая над доказательством теоремы Евклида о бесконечности простых чисел, Эйлер рассмотрел произведение по всем простым числам и сформулировал тождество:
,
которое стало основанием для теорий дзета-функций[1]. Наиболее известной и до сих пор не решённой проблемой аналитической теории чисел является доказательство гипотезы Римана о нулях дзета-функции, утверждающей, что все нетривиальные корни уравнения лежат на так называемой критической прямой
, где
— дзета-функция Римана.
Для доказательства теоремы о бесконечности простых чисел в общем виде Дирихле использовал произведения по всем простым числам, аналогичные эйлерову произведению, и показал, что
,
при этом функция , получившая название характер Дирихле, определена так, что удовлетворяет следующим условиям: она является периодической, вполне мультипликативной и не равна тождественно нулю. Характеры и ряды Дирихле нашли применение и в других разделах математики, в частности в алгебре, топологии и теории функций[1].
Чебышёв показал, что число простых чисел, не превосходящих , обозначенное как
, стремится к бесконечности по следующему закону[1]:
, где
и
.
Другим направлением аналитической теории чисел является применение комплексного анализа в доказательстве теоремы о распределении простых чисел.