Универсальное множество

Универса́льное мно́жество — в математике множество, содержащее все объекты и все множества. В тех аксиоматиках, в которых универсальное множество существует, оно единственно.

Универсальное множество обычно обозначается ${\displaystyle \mathbb {U} }$ (от англ. universe, universal set), реже ${\displaystyle \mathbb {E} }$.

В аксиоматике Цермело — Френкеля парадокс Рассела со схемой выделения и парадокс Кантора показывают, что предположение о существовании такого множества ведёт к противоречию.

В аксиоматике фон Неймана — Бернайса — Гёделя существует универсальный класс — класс всех множеств, но множеством он не является. Класс всех множеств является классом объектов категории Set.

В некоторых аксиоматиках существует универсальное множество, но при этом схема выделения не выполняется. Примером является теория New Foundations^[англ.] У. В. О. Куайна.

Также универсальным множеством называют множество объектов, рассматриваемых в каком-либо разделе математики. Для элементарной арифметики универсальным множеством является множество целых чисел, для аналитической геометрии плоскости универсальным множеством является множество всех упорядоченных пар действительных чисел^[1].

На диаграммах Венна универсальное множество (в обоих значениях) изображается множеством точек некоторого прямоугольника; подмножества его точек изображают подмножества универсального множества^[1].

В дальнейшем речь идёт о первом значении термина. Нижеприведённые формулы (за исключением ${\displaystyle \mathbb {U} \in \mathbb {U} }$) верны и для второго значения, если через ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle A}$ обозначены соответственно любой элемент и любое подмножество множества ${\displaystyle \mathbb {U} }$.

Свойства универсального множества

${\displaystyle \mathbb {U} =\varnothing ^{\complement }}$

${\displaystyle A^{\complement }=\mathbb {U} \setminus A}$

• Любой объект, какова бы ни была его природа, является элементом универсального множества.

  ${\displaystyle \forall a\colon a\in \mathbb {U} }$

• В частности, само универсальное множество содержит себя в качестве одного из многих элементов.

  ${\displaystyle \mathbb {U} \in \mathbb {U} }$

• Любое множество является подмножеством универсального множества.

  ${\displaystyle \forall A\colon A\subseteq \mathbb {U} }$

• В частности, само универсальное множество является своим подмножеством.

  ${\displaystyle \mathbb {U} \subseteq \mathbb {U} }$

• Объединение универсального множества с любым множеством равно универсальному множеству.

  ${\displaystyle \forall A\colon \mathbb {U} \cup A=\mathbb {U} }$

• В частности, объединение универсального множества с самим собой равно универсальному множеству.

  ${\displaystyle \mathbb {U} \cup \mathbb {U} =\mathbb {U} }$

• Объединение любого множества с его дополнением равно универсальному множеству.

  ${\displaystyle A\cup A^{\complement }=\mathbb {U} }$

• Пересечение универсального множества с любым множеством равно последнему множеству.

  ${\displaystyle \forall A\colon \mathbb {U} \cap A=A}$

• В частности, пересечение универсального множества с самим собой равно универсальному множеству.

  ${\displaystyle \mathbb {U} \cap \mathbb {U} =\mathbb {U} }$

• Исключение универсального множества из любого множества равно пустому множеству.

  ${\displaystyle \forall A\colon A\setminus \mathbb {U} =\varnothing }$

• В частности, исключение универсального множества из себя равно пустому множеству.

  ${\displaystyle \mathbb {U} \setminus \mathbb {U} =\varnothing }$

• Исключение любого множества из универсального множества равно дополнению этого множества.

  ${\displaystyle \forall A\colon \mathbb {U} \setminus A=A^{\complement }}$

• Дополнение универсального множества есть пустое множество.

  ${\displaystyle \mathbb {U} ^{\complement }=\varnothing }$

• Симметрическая разность универсального множества с любым множеством равна дополнению последнего множества.

  ${\displaystyle \forall A\colon \mathbb {U} \triangle A=A^{\complement }}$

• В частности, симметрическая разность универсального множества с самим собой равна пустому множеству.

  ${\displaystyle \mathbb {U} \triangle \mathbb {U} =\varnothing }$

Виды

• Дизъюнктивно-универсальное множество (ДУМ) G ^[2] порядка n и ранга p — это множество функций алгебры логики (ФАЛ) такое, что для любой ${\displaystyle g\in P_{2}(n)}$ существует набор функций ${\displaystyle g_{1},\ldots ,g_{p}\in G}$ такой, что:

${\displaystyle g=g_{1}\lor \ldots \lor g_{p}}$

См. также

• Аксиоматика теории множеств
• Парадокс Рассела

Примечания

1. Столл, 1968, с. 25.
2. С. А. Ложкин. Лекции по основам кибернетики, 2008 г. (PDF)

Литература

• Столл Р. Множества, логика, аксиоматические теории. — М.: Мир, 1968. — 231 с.
• Нефедов В.Н., Осипова В.А. Курс дискретной математики. — М.: МАИ, 1992. — 264 с. — ISBN 5-7035-0157-X.