Теорема Громова о компактности (Риманова геометрия)

Теорема Громова о компактности или Теорема выбора Громова гласит, что множество римановых многообразий данной размерности с кривизной Риччи ≥ c и диаметром ≤ D является относительно компактным в метрике Громова — Хаусдорфа.

История

Теорема была доказана Громовым,^[1] в доказательстве используется неравенство Бишопа — Громова.

Появление этой теоремы подтолкнуло изучение александровских пространств ограниченной снизу кривизны в размерностях 3 и выше и, позже, обобщённых пространств с ограниченной снизу кривизной Риччи.

Вариации и обобщения

• Теорема является обобщением теоремы Майерса.

Теорема Громова — следствие следующего утверждения.

• Любое универсально вполне ограниченное семейство метрических пространств является относительно компактным в метрике Громова — Хаусдорфа.
  • Семейство ${\displaystyle X}$ метрических пространств называется универсально вполне ограниченным, если для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ существует целое положительное число ${\displaystyle N(\varepsilon )}$ такое, что любое пространство из ${\displaystyle X}$ допускает ${\displaystyle \varepsilon }$-сеть из не более чем ${\displaystyle N(\varepsilon )}$ точек.

См. также

• Теорема выбора Бляшке

Примечания

1. Gromov, Mikhael (1981), Structures métriques pour les variétés riemanniennes, Textes Mathématiques [Mathematical Texts], vol. 1, Paris: CEDIC, ISBN 2-7124-0714-8, MR 0682063

Литература

• Д. Ю. Бураго, Ю. Д. Бураго, С. В. Иванов. Курс метрической геометрии. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. — 512 с. — ISBN 5-93972-300-4.