Сходи́мость по распределе́нию в теории вероятностей — вид сходимости случайных величин.
Пусть дано вероятностное пространство и определённые на нём случайные величины . Каждая случайная величина индуцирует вероятностную меру на , называемую её распределением.
Случайные величины сходятся по распределению к случайной величине , если распределения слабо сходятся к распределению , то есть
для любой непрерывной ограниченной[1][2] функции .
- Пользуясь теоремой о замене меры в интеграле Лебега, последнее равенство может быть переписано следующим образом:
- .
- Предел по распределению не единствен. Если распределения двух случайных величин идентичны, то они одновременно являются или не являются пределом по распределению последовательности случайных величин.
- Случайные величины сходятся по распределению к , если их функции распределения сходятся к функции распределения предела во всех точках непрерывности последней:
- .
- почти всюду,
- то . Обратное, вообще говоря, неверно!
- .
- Обратное, вообще говоря, неверно.