Нотация анализа

Нотация анализа — система математических обозначений, применяемая в математическом анализе, при этом различные математические школы применяют различные обозначения для производной функций или переменных. Использование той или иной нотации зависит от контекста, и одно обозначение может оказаться удобнее других в конкретном случае. Наиболее общеупотребительна нотация Лейбница➤, также широко используются нотации Лагранжа➤, Эйлера➤, Ньютона➤.

Нотация Лейбница

dy

dx

d²y

dx²

Первая и вторая производные от y по x в нотации Лейбница.

Основная статья: Нотация Лейбница

Оригинальная нотация, использованная Готфридом Вильгельмом Лейбницем, сплошь используется математиками. Она особенно удобна, когда выражение ${\displaystyle y=f(x)}$ рассматривается как функциональная связь между переменными ${\displaystyle y}$ и ${\displaystyle x}$. Нотация Лейбница делает эту связь явной путём записи производной как

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}.}$

Функция, значение которой в точке x является производной от f по x тогда записывается

${\displaystyle {\frac {df}{dx}}(x){\text{ или }}{\frac {df(x)}{dx}}{\text{ или }}{\frac {d}{dx}}f(x).}$

Производные большего порядка записываются как

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}},{\frac {d^{3}y}{dx^{3}}},{\frac {d^{4}y}{dx^{4}}},\ldots ,{\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}.}$

Это напоминает формальную манипуляцию символами

${\displaystyle {\frac {d\left({\frac {dy}{dx}}\right)}{dx}}=\left({\frac {d}{dx}}\right)^{2}y={\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}.}$

Вообще говоря, эти равенства не являются теоремами. Более того, они являются просто определениями нотации. К тому же применение правила вычисления производной от дроби^[англ.] к вышеприведённой нотации с использованием dd, чтобы не путать с d², даёт

${\displaystyle {\frac {d\left({\frac {dy}{dx}}\right)}{dx}}={\frac {ddy}{dx^{2}}}-{\frac {dy}{dx}}{\frac {ddx}{dx^{2}}}.}$

Значение производной y в точке ${\displaystyle x=a}$ можно выразить с помощью нотации Лейбница двумя путями:

${\displaystyle \left.{\frac {dy}{dx}}\right|_{x=a}{\text{ или }}{\frac {dy}{dx}}(a)}$.

Обозначение Лейбница позволяет указать переменную, по которой ведётся дифференцирования (в знаменателе). Это особенно удобно, когда рассматриваются частные производные. Это также позволяет легко запомнить и распознать правило дифференцирования сложной функции:

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}.}$

Нотация Лейбница для дифференцирования не требует придания особого смысла символам, таким как ${\displaystyle dx}$ или ${\displaystyle dy}$ и некоторые авторы не пытаются придать этим символам какой-то смысл. Лейбниц трактовал эти символы как бесконечно малые величины. Позднее авторы дали им другие смыслы, такие как бесконечно малые в нестандартном анализе или внешние производные.

Некоторые авторы и журналы используют прямое написание символа дифференцирования d вместо курсива, то есть dx. Стандарт ISO/IEC 80000 рекомендует этот стиль.

Нотация Лейбница для первообразной

${\displaystyle \int ydx}$
${\displaystyle \int \int ydx^{2}}$

Простой и двойной неопределённый интегралы y по x в нотации Лейбница.

Для функций от 2 и более переменных см. Кратный интеграл

Лейбниц ввёл знак интеграла ${\displaystyle \int }$ в работах Analyseos tetragonisticae pars secunda и Methodi tangentium inversae exempla (обе работы 1675 года). Знак стал стандартным символом интегрирования.

${\displaystyle {\begin{aligned}\int y'\,dx&=\int f'(x)\,dx=f(x)+C_{0}=y+C_{0}\\\int y\,dx&=\int f(x)\,dx=F(x)+C_{1}\\\iint y\,dx^{2}&=\int \left(\int y\,dx\right)dx=\int _{X\times X}f(x)\,dx=\int F(x)\,dx=g(x)+C_{2}\\\underbrace {\int \dots \int } _{\!\!n}y\,\underbrace {dx\dots dx} _{n}&=\int _{\underbrace {X\times \cdots \times X} _{n}}f(x)\,dx=\int s(x)\,dx=S(x)+C_{n}\end{aligned}}}$

Нотация Лагранжа

${\displaystyle f'(x)}$

Функция f от x, продифференцированная один раз в нотации Лагранжа.

Одна из наиболее употребительных нотаций дифференцирования названа именем Жозефа Луи Лагранжа, хотя на самом деле её ввёл Эйлер, а Лагранж просто сделал нотацию популярной. В нотации Лагранжа штрих означает производную. Если f — функция, то её производная от x записывается как

${\displaystyle f'(x)}$.

Нотация появилась в печати в 1749 году^[1].

Производные более высоких порядков отображаются дополнительными знаками, ${\displaystyle f''(x)}$ для второй производной и ${\displaystyle f'''(x)}$ для третьей производной^[англ.]. Использование кратных штрихов рано или поздно приводит к громоздким выражениям. Некоторые авторы продолжают использование римских цифр, обычно на нижнем регистре^[2][3] как ниже

${\displaystyle f^{\mathrm {iv} }(x),f^{\mathrm {v} }(x),f^{\mathrm {vi} }(x),\ldots ,}$

для обозначения четвёртой, пятой, шестой и производных более высокого порядка. Другие авторы используют арабские цифры в скобках как ниже

${\displaystyle f^{(4)}(x),f^{(5)}(x),f^{(6)}(x),\ldots .}$

Эта нотация делает возможным записать n-ю производную, где n является переменной. Делается это так

${\displaystyle f^{(n)}(x).}$

Символы юникода для нотации Лагранжа:

• U+2032 ◌′ штрих (производная)
• U+2033 ◌″ двойной штрих (вторая производная)
• U+2034 ◌‴ тройной штрих (третья производная)
• U+2057 ◌⁗ четверной штрих (четвёртая производная)

Если имеется две независимые переменные для функции f(x, y), можно следовать следующим соглашениям^[4]:

${\displaystyle {\begin{aligned}f^{\prime }&={\frac {df}{dx}}=f_{x}\\f_{\prime }&={\frac {df}{dy}}=f_{y}\\f^{\prime \prime }&={\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}=f_{xx}\\f_{\prime }^{\prime }&={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}\ =f_{xy}\\f_{\prime \prime }&={\frac {d^{2}f}{dy^{2}}}=f_{yy}\end{aligned}}}$

Нотация Лагранжа для первообразной

f⁽⁻¹⁾(x)
f⁽⁻²⁾(x)

Обычный и двойной неопределённые интегралы функции f по переменной x в нотации Лагранжа.

Для обозначения первообразной Лагранж следовал нотации Лейбница^[5]:

${\displaystyle f(x)=\int f'(x)\,dx=\int y\,dx.}$

Однако, поскольку интегрирование является обратной операцией взятия производной, нотация Лагранжа для производных больших степеней распространяется и на интегрирование. Кратные интегралы от f могут быть записаны как

${\displaystyle f^{(-1)}(x)}$ для обычного интеграла (не спутайте с обратной функцией ${\displaystyle f^{-1}(x)}$),

${\displaystyle f^{(-2)}(x)}$ для двойного интеграла,

${\displaystyle f^{(-3)}(x)}$ для тройного интеграла

${\displaystyle f^{(-n)}(x)}$ для n-кратного интеграла.

Нотация Эйлера

${\displaystyle D_{x}y}$
${\displaystyle D^{2}f}$

Производная по x от y и вторая производная функции f, нотация Эйлера.

Нотация Эйлера использует дифференциальный оператор, предложенный Луи-Франсуа-Антуаном Арбогастом, имеющим обозначение ${\displaystyle D}$ (D-оператор)^[6] или ${\displaystyle {\tilde {D}}}$ (оператор Ньютона — Лейбница)^[7]. Когда применяется к функции ${\displaystyle f(x)}$, оператор определяется как

${\displaystyle (Df)(x)={\frac {df(x)}{dx}}.}$

Производные более высокого порядка обозначаются как «степени» оператора D (где индекс обозначает кратность оператора D)^[4]

${\displaystyle D^{2}f}$ для второй производной,

${\displaystyle D^{3}f}$ для третьей производной

${\displaystyle D^{n}f}$ для n-й производной.

Нотация Эйлера не указывает явно переменную, по которой ведётся дифференцирование. Однако эту переменную можно указать и явно. Если f — это функция от переменной x, это можно выразить, записав^[4]

${\displaystyle D_{x}f}$ для первой производной,

${\displaystyle D_{x}^{2}f}$ для второй производной,

${\displaystyle D_{x}^{3}f}$ для третьей производной

${\displaystyle D_{x}^{n}f}$ для n-й производной.

Если f является функцией нескольких переменных, принято использовать «∂», а не D. Как и выше, нижний индекс означает переменную, по которой ведётся дифференцирование. Например, вторые частные производные функции f(x, y) обозначаются как^[4]:

${\displaystyle \partial _{xx}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}},}$

${\displaystyle \partial _{xy}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}},}$

${\displaystyle \partial _{yx}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}},}$

${\displaystyle \partial _{yy}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}.}$

См. § Частные производные.

Нотация Эйлера полезна для формулировки и решения линейных дифференциальных уравнений, поскольку упрощает представление дифференциальных уравнений, что позволяет увидеть существенные элементы задачи проще.

Нотация Эйлера для первообразной

${\displaystyle D_{x}^{-1}y}$
${\displaystyle D^{-2}f}$

Первообразная для y от x и вторая первообразная функции f, нотация Эйлера.

Нотация Эйлера может быть использована для первообразной так же, как и нотация Лагранжа^[8], следующим образом^[7]

${\displaystyle D^{-1}f(x)}$ для первой первообразной,

${\displaystyle D^{-2}f(x)}$ для второй первообразной

${\displaystyle D^{-n}f(x)}$ для n-й первообразной.

Нотация Ньютона

ẋẍ

Первая и вторая производные x, нотация Ньютона.

Нотация Ньютона для дифференцирования помещает точку над зависимой переменной. То есть, если y является функцией от t, то производная y по t есть

${\displaystyle {\dot {y}}}$.

Производные более высокого порядка представляются кратными точками как ниже

${\displaystyle {\ddot {y}},{\overset {...}{y}}}$

Ньютон распространил эту идею широко^[9]:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\ddot {y}}&\equiv {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}={\frac {d}{dt}}\left({\frac {dy}{dt}}\right)={\frac {d}{dt}}{\Bigl (}{\dot {y}}{\Bigr )}={\frac {d}{dt}}{\Bigl (}f'(t){\Bigr )}=D_{t}^{2}y=f''(t)=y''_{t}\\{\overset {...}{y}}&={\dot {\ddot {y}}}\equiv {\frac {d^{3}y}{dt^{3}}}=D_{t}^{3}y=f'''(t)=y'''_{t}\\{\overset {\,4}{\dot {y}}}&={\overset {....}{y}}={\ddot {\ddot {y}}}\equiv {\frac {d^{4}y}{dt^{4}}}=D_{t}^{4}y=f^{\rm {IV}}(t)=y_{t}^{(4)}\\{\overset {\,5}{\dot {y}}}&={\ddot {\overset {...}{y}}}={\dot {\ddot {\ddot {y}}}}={\ddot {\dot {\ddot {y}}}}\equiv {\frac {d^{5}y}{dt^{5}}}=D_{t}^{5}y=f^{\rm {V}}(t)=y_{t}^{(5)}\\{\overset {\,6}{\dot {y}}}&={\overset {...}{\overset {...}{y}}}\equiv {\frac {d^{6}y}{dt^{6}}}=D_{t}^{6}y=f^{\rm {VI}}(t)=y_{t}^{(6)}\\{\overset {\,7}{\dot {y}}}&={\dot {\overset {...}{\overset {...}{y}}}}\equiv {\frac {d^{7}y}{dt^{7}}}=D_{t}^{7}y=f^{\rm {VII}}(t)=y_{t}^{(7)}\\{\overset {\,10}{\dot {y}}}&={\ddot {\ddot {\ddot {\ddot {\ddot {y}}}}}}\equiv {\frac {d^{10}y}{dt^{10}}}=D_{t}^{10}y=f^{\rm {X}}(t)=y_{t}^{(10)}\\{\overset {\,n}{\dot {y}}}&\equiv {\frac {d^{n}y}{dt^{n}}}=D_{t}^{n}y=f^{(n)}(t)=y_{t}^{(n)}\end{aligned}}}$

Символы юникода для нотации Ньютона:

• U+0307 ◌̇ точка сверху (производная)
• U+0308 ◌̈ две точки сверху (вторая производная)
• U+20DB ◌⃛ три точки сверху (третья производная).
• U+20DC ◌⃜ четыре точки сверху (четвёртая производная).
• U+030D ◌̍ штрих сверху (интеграл)
• U+030E ◌̎ два штриха сверху (двойной интеграл)
• U+25AD ▭ белый прямоугольник (интеграл)
• U+20DE ◌⃞ объемлющий квадрат (интеграл)
• U+1DE0 ◌ᷠ (n-ая производная)

Нотация Ньютона в основном используется, когда независимой переменной служит время. Если положение y является функцией от времени t, то ${\displaystyle {\dot {y}}}$ обозначает скорость^[10], а ${\displaystyle {\ddot {y}}}$ обозначает ускорение^[11]. Эта нотация популярна в физике и математической физике. Она также появляется в математических областях, связанных с физикой, таких как дифференциальные уравнения. Нотация популярна только для первой и второй производных, но в этих приложениях производные большего порядка и не требуются.

Когда берётся производная зависимой переменной ${\displaystyle y=f(x)}$, существует альтернативная нотация^[12]:

${\displaystyle {\frac {\dot {y}}{\dot {x}}}={\dot {y}}:{\dot {x}}\equiv {\frac {dy}{dt}}:{\frac {dx}{dt}}={\frac {\frac {dy}{dt}}{\frac {dx}{dt}}}={\frac {dy}{dx}}={\frac {d}{dx}}{\Bigl (}f(x){\Bigr )}=Dy=f'(x)=y'.}$

Ньютон разработал следующие операторы частных производных на основе точки сбоку от изогнутого X (ⵋ). Определения, данные Вайтсайдом следующие^[13][14]:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {X}}\ &=\ f(x,y)\,,\\\cdot {\mathcal {X}}\ &=\ x{\frac {\partial f}{\partial x}}=xf_{x}\,,\\{\mathcal {X}}\!\cdot \ &=\ y{\frac {\partial f}{\partial y}}=yf_{y}\,,\\\colon \!{\mathcal {X}}\,{\text{ или }}\,\cdot \!\left(\cdot {\mathcal {X}}\right)\ &=\ x^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}=x^{2}f_{xx}\,,\\{\mathcal {X}}\colon \,{\text{ или }}\,\left({\mathcal {X}}\cdot \right)\!\cdot \ &=\ y^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}=y^{2}f_{yy}\,,\\\cdot {\mathcal {X}}\!\cdot \ \ &=\ xy{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}=xyf_{xy}\,,\end{aligned}}}$

Нотация Ньютона для интегрирования

x̍x̎

Первая и вторая первообразные x в нотации Ньютона.

Ньютон разработал много различных нотаций для интрегрирования в работе Quadratura curvarum (1704) и более поздних работах^[англ.] — он писал маленькую вертикальную черту или штрих над зависимой переменной (${\displaystyle {\overset {\,\prime }{y}}}$), прямоугольник перед переменной (${\displaystyle {\Box }y}$) или заключение в прямоугольник (y) для обозначения изменения^[англ.] или интеграла по времени.

${\displaystyle {\begin{aligned}y&=\Box {\dot {y}}\equiv \int {\dot {y}}\,dt=\int f'(t)\,dt=D_{t}^{-1}(D_{t}y)=f(t)+C_{0}=y_{t}+C_{0}\\{\overset {\,\prime }{y}}&=\Box y\equiv \int y\,dt=\int f(t)\,dt=D_{t}^{-1}y=F(t)+C_{1}\end{aligned}}}$

Для обозначения кратных интегралов Ньютон использовал маленькие вертикальные чёрточки (${\displaystyle {\overset {\,\prime \prime }{y}}}$) или комбинацию предшествующих букве символов ${\displaystyle {\Box }{\overset {\,\prime }{y}}}$ ${\displaystyle {\overset {\,\prime }{y}}}$ для обозначения двойного интеграла по времени.

${\displaystyle {\overset {\,\prime \prime }{y}}=\Box {\overset {\,\prime }{y}}\equiv \int {\overset {\,\prime }{y}}\,dt=\int F(t)\,dt=D_{t}^{-2}y=g(t)+C_{2}}$

Более высокие интегралы по времени были следующие^[15]:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overset {\,\prime \prime \prime }{y}}&=\Box {\overset {\,\prime \prime }{y}}\equiv \int {\overset {\,\prime \prime }{y}}\,dt=\int g(t)\,dt=D_{t}^{-3}y=G(t)+C_{3}\\{\overset {\,\prime \prime \prime \prime }{y}}&=\Box {\overset {\,\prime \prime \prime }{y}}\equiv \int {\overset {\,\prime \prime \prime }{y}}\,dt=\int G(t)\,dt=D_{t}^{-4}y=h(t)+C_{4}\\{\overset {\;n}{\overset {\,\prime }{y}}}&=\Box {\overset {\;n-1}{\overset {\,\prime }{y}}}\equiv \int {\overset {\;n-1}{\overset {\,\prime }{y}}}\,dt=\int s(t)\,dt=D_{t}^{-n}y=S(t)+C_{n}\end{aligned}}}$

Эти математические обозначения не стали общеупотребительными ввиду трудности печати и спора Ньютона и Лейбница о приоритете.

Частные производные

f_xf_xy

Функция f, продифференцированная по x, во втором случае — по x и по y.

Когда требуются более специфичные типы дифференцирования, такие как в анализе функций многих переменных или тензорном анализе, общеупотребительны другие нотации.

Для функции f от независимой переменной x мы можем выразить производную с помощью индекса в виде независимой переменной:

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{x}&={\frac {df}{dx}}\\f_{xx}&={\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}.\end{aligned}}}$

Этот тип нотации особенно полезен для обозначения частных производных функции многих переменных.

∂f/∂x

Производная функции f по x.

Частные производные обычно отличают от обычных производных путём замены оператора дифференцирования d на символ «∂». Например, мы можем выразить частную производную ${\displaystyle f(x,y,z)}$ по x, но не по y или z несколькими способами:

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}=f_{x}=\partial _{x}f.}$

Что делает это отличие в нотации важным, это то, что простая производная (не частная), такая как ${\displaystyle \textstyle {\frac {df}{dx}}}$, может, в зависимости от контекста, быть интерпретирована как скорость изменения ${\displaystyle f}$ от ${\displaystyle x}$, когда все остальные переменные могут изменяться одновременно, в то время как для частной производной, такой как ${\displaystyle \textstyle {\frac {\partial f}{\partial x}}}$, только одна переменная может меняться.

Другие нотации можно найти в различных подобластях математики, физики и технических наук. См., например, соотношения Максвелла термодинамики. Символ ${\displaystyle \left({\frac {\partial T}{\partial V}}\right)_{\!S}}$ является производной температуры T по объёму V, сохраняя при этом постоянной энтропию (индекс) S, в то время как ${\displaystyle \left({\frac {\partial T}{\partial V}}\right)_{\!P}}$ является производной температуры по объёму при сохранении постоянным давлении P. Это становится необходимым в ситуациях, когда число переменных превосходит число степеней свободы, так что нужно выбирать, какие переменные необходимо сохранять постоянными.

Частные производные большего порядка по одной переменной выражаются как

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}=f_{xx},}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{3}f}{\partial x^{3}}}=f_{xxx},}$

и так далее. Смешанные частные производные можно выразить как

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}=f_{xy}.}$

В этом последнем случае переменные записаны в обратном порядке для двух нотаций:

${\displaystyle (f_{x})_{y}=f_{xy},}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial y}}\!\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}.}$

Так называемый мультииндекс используется в ситуациях, когда вышеописанные обозначения становятся громоздкими или недостаточно выразительными. Если рассматривать функции на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, мы определим мультииндекс как упорядоченный список ${\displaystyle n}$ неотрицательных целых чисел: ${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},..,\alpha _{n}),\ \alpha _{i}\in \mathbb {Z} _{\geq 0}}$. Определим теперь для ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to X}$ нотацию

${\displaystyle \partial ^{\alpha }f={\frac {\partial ^{\alpha _{1}}}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}}}\cdots {\frac {\partial ^{\alpha _{n}}}{\partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}f}$

При таком определении некоторые результаты (такие как формула Лейбница), которую другим способом записать трудно, может быть выражена кратко. Некоторые примеры можно найти в статье о мультииндексе^[16].

Нотация в векторном анализе

Векторный анализ занимается взятием производной и интегрированием векторного или скалярного поля. Для случая трёхмерного евклидова пространства общеупотребительны некоторые нотации.

Предположим, что ${\displaystyle (x,y,z)}$ является заданной декартовой системы координат, A является векторным полем с компонентами ${\displaystyle \mathbf {A} =(\mathbf {A} _{x},\mathbf {A} _{y},\mathbf {A} _{z})}$, а ${\displaystyle \varphi =\varphi (x,y,z)}$ является скалярным полем.

Оператор дифференцирования, введённый Уильямом Роуэном Гамильтоном, записываемый как ${\displaystyle \nabla }$ и называемый набла, определяется в символической форме как вектор,

${\displaystyle \nabla =\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)\!,}$

Здесь выражение «в символической форме» отражает факт, что оператор ${\displaystyle \nabla }$ можно трактовать как обычный вектор.

${\displaystyle \nabla \phi }$

Градиент скалярного поля ${\displaystyle \varphi }$.

• Градиент: Градиент ${\displaystyle \mathrm {grad\,} \varphi }$ скалярного поля ${\displaystyle \varphi }$ является вектором, который символически записывается как умножение ${\displaystyle \nabla }$ на скаляроное поле ${\displaystyle \varphi }$,

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {grad} \varphi &=\left({\frac {\partial \varphi }{\partial x}},{\frac {\partial \varphi }{\partial y}},{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}\right)\\&=\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)\varphi \\&=\nabla \varphi \end{aligned}}}$

${\displaystyle \nabla \phi \cdot \mathbf {A} }$

Дивергенция векторного поля A.

• Дивергенция: Дивергенция ${\displaystyle \mathrm {div} \,\mathbf {A} }$ векторного поля A есть скаляр, который символически выражается как скалярное произведение ${\displaystyle \nabla }$ и вектора A,

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {div} \mathbf {A} &={\partial A_{x} \over \partial x}+{\partial A_{y} \over \partial y}+{\partial A_{z} \over \partial z}\\&=\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)\cdot \mathbf {A} \\&=\nabla \cdot \mathbf {A} \end{aligned}}}$

${\displaystyle \nabla ^{2}\varphi }$

Лапласиан скалярного поля ${\displaystyle \varphi }$.

• Оператор Лапласа: Лапласиан ${\displaystyle \operatorname {div} \operatorname {grad} \varphi }$ скалярного поля ${\displaystyle \varphi }$ есть скаляр, который символически выражается как скалярное умножение ${\displaystyle \nabla ^{2}}$ на скалярное поле ${\displaystyle \varphi }$,

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {div} \operatorname {grad} \varphi &=\nabla \cdot (\nabla \varphi )\\&=(\nabla \cdot \nabla )\varphi \\&=\nabla ^{2}\varphi \\&=\Delta \varphi \\\end{aligned}}}$

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {A} }$

Ротация векторного поля A.

• Ротация:Ротация ${\displaystyle \mathrm {rot} \,\mathbf {A} }$, или ${\displaystyle \mathrm {rot} \,\mathbf {A} }$, векторного поля A — это вектор, который символически выражается как векторное произведение ${\displaystyle \nabla }$ и вектора A,

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {rot} \mathbf {A} &=\left({\partial A_{z} \over {\partial y}}-{\partial A_{y} \over {\partial z}},{\partial A_{x} \over {\partial z}}-{\partial A_{z} \over {\partial x}},{\partial A_{y} \over {\partial x}}-{\partial A_{x} \over {\partial y}}\right)\\&=\left({\partial A_{z} \over {\partial y}}-{\partial A_{y} \over {\partial z}}\right)\mathbf {i} +\left({\partial A_{x} \over {\partial z}}-{\partial A_{z} \over {\partial x}}\right)\mathbf {j} +\left({\partial A_{y} \over {\partial x}}-{\partial A_{x} \over {\partial y}}\right)\mathbf {k} \\&={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\{\cfrac {\partial }{\partial x}}&{\cfrac {\partial }{\partial y}}&{\cfrac {\partial }{\partial z}}\\A_{x}&A_{y}&A_{z}\end{vmatrix}}\\&=\nabla \times \mathbf {A} \end{aligned}}}$

Многие символические операции взятия производный могут быть обобщены простым образом с помощью оператора градиента в декартовых координатах. Например, правило произведения для одной переменной имеет прямой аналог в произведении скалярных полей путём применения оператора градиента

${\displaystyle (fg)'=f'g+fg'~~~\Longrightarrow ~~~\nabla (\phi \psi )=(\nabla \phi )\psi +\phi (\nabla \psi ).}$

Многие другие правила из анализа одной переменной имеют аналоги в векторном анализе для градиента, дивергенции, ротации и лапласиана.

Далее нотация развивалась для более экзотичных видов пространств. Для вычислений в пространстве Минковского, оператор Д’Аламбера, называемый также д’аламберианом или волновым оператором записывается как ${\displaystyle \Box }$ или как ${\displaystyle \Delta }$, если не образуется конфликт с символом лапласиана.

См. также

• Аналитическое общество^[англ.]
• Гессиан функции
• История математических обозначений
• Матрица Якоби
• Производная функции

Примечания

1. Nova acta eruditorum : anno ... publicata, ... Año 1749. - Full View | HathiTrust Digital Library  (неопр.). Дата обращения: 30 октября 2021. Архивировано 28 октября 2021 года.
2. Morris, Stark, 2015.
3. Osborne, 1908, с. 63—65.
4. De Morgan, 1842, с. 267—268.
5. Lagrange, Nouvelle méthode pour résoudre les équations littérales par le moyen des séries (1770), p. 25-26. http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PID=PPN308900308%7CLOG_0017&physid=PHYS_0031
6. The D operator - Differential - Calculus - Maths Reference with Worked Examples  (неопр.). www.codecogs.com. Архивировано 19 января 2016 года.
7. Weisstein, Eric W. "Differential Operator." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. Archived copy  (неопр.). Дата обращения: 7 февраля 2016. Архивировано 21 января 2016 года.
8. Weisstein, Eric W. "Repeated Integral." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. Archived copy  (неопр.). Дата обращения: 7 февраля 2016. Архивировано 1 февраля 2016 года.
9. Нотация Ньютона взята из:

   • 1-я — 5-я производные: Quadratura curvarum (Newton, 1704), стр. 7 (стр. 5r в оригинале MS: Archived copy  (неопр.). Дата обращения: 5 февраля 2016. Архивировано 28 февраля 2016 года.).
   • 1-я — 7-я, n-я и (n+1)-я производные: Method of Fluxions (Newton, 1736), стр. 313-318 and p. 265 (p. 163 in original MS: Archived copy  (неопр.). Дата обращения: 5 февраля 2016. Архивировано 6 апреля 2017 года.)
   • 1-я — 5-я производные: A Treatise of Fluxions (Colin MacLaurin, 1742), p. 613
   • 1-я — 4-я и n-я производные: Статьи "Differential" и "Fluxion" в книге Dictionary of Pure and Mixed Mathematics (Peter Barlow, 1814)
   • 1-я — 4-я, 10-я и n-я производные: Статьи 622, 580 и 579 в книге A History of Mathematical Notations (F .Cajori, 1929)
   • 1-я — 6-я и n-я производные: The Mathematical Papers of Isaac Newton Vol. 7 1691-1695 (D. T. Whiteside, 1976), стр.88 и 17
   • 1-я — 3-я и n-я производные: A History of Analysis (Hans Niels Jahnke, 2000), стр. 84-85

   Точку для n-й производной можно опустить ( ${\displaystyle {\overset {\,n}{y}}}$ )
10. Weisstein, Eric W. "Overdot." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. Archived copy  (неопр.). Дата обращения: 5 февраля 2016. Архивировано 5 сентября 2015 года.
11. Weisstein, Eric W. "Double Dot." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. Archived copy  (неопр.). Дата обращения: 5 февраля 2016. Архивировано 3 марта 2016 года.
12. Cajori, 1929.
13. Whiteside, 1961, с. 361—362,378.
14. С. И. Энгельсман дал более строгие определения Engelsman (2000, p. 223—226) harvtxt error: якоря не существует: CITEREFEngelsman2000 (помощь)
15. Нотация Ньютона для интегрирования взята из:

    • 1-й — 3-й интегралы: Quadratura curvarum (Newton, 1704), стр. 7 (стр. 5r в оригинале MS: Archived copy  (неопр.). Дата обращения: 5 февраля 2016. Архивировано 28 февраля 2016 года.)
    • 1-й — 3-й интегралы: Method of Fluxions (Newton, 1736), стр. 265-266 (стр. 163 в оригинале MS: Archived copy  (неопр.). Дата обращения: 5 февраля 2016. Архивировано 6 апреля 2017 года.)
    • 4-й интеграл: The Doctrine of Fluxions (James Hodgson, 1736), стр. 54 and 72
    • 1-й и 2-й интегралы: Статьи 622 и 365 в A History of Mathematical Notations (F .Cajori, 1929)

    Нотация кратного n-го интеграла выводится из n-й производной. Она, возможно, использовалась в Methodus Incrementorum Directa & Inversa (Brook Taylor, 1715)
16. Tu, 2011.

Литература

• Carla C. Morris, Robert M. Stark, 1930-2017. Fundamentals of calculus. — Hoboken, New Jersey, 2015. — ISBN 9781119015314.
• George A. Osborne. Differential and Integral Calculus. — Boston: D. C. Heath and co., 1908. — С. 63-65.
• (Augustus De Morgan. The Differential and Integral Calculus. — 1842. — С. 267—268.
• Dennis G. Zill. глава 1.1 // A First Course in Differential Equations. — Belmont, CA, 2009. — С. 3. — ISBN 978-0-495-10824-5.
• Florian Cajori. Article 580 // A History of Mathematical Notations. — New York: Dover Publications, Inc., 1929. — ISBN 0-486-67766-4.
• Loring W. Tu. An introduction to manifolds. — 2. — New York: Springer, 2011. — ISBN 978-1-4419-7400-6.
• D. T. Whiteside. Patterns of Mathematical Thought in the Later Seventeenth Century // Archive for History of Exact Sciences. — 1961. — Т. 1,. — С. 361—362,378.
• S.B. Engelsman. Families of Curves and the Origins of Partial Differentiation. — 2000. — С. 223—226.

Ссылка

• Earliest Uses of Symbols of Calculus, maintained by Jeff Miller (Архивировано 6 июля 2020 года.).