Loading AI tools
Из Википедии, свободной энциклопедии
ККС-алгебры (основанные на канонических коммутационных соотношениях) и КАС-алгебры (основанные на канонических антикоммутационных соотношениях) используются в математическом аппарате квантовой механики, квантовой статистической механики и квантовой теории поля при описании статистики и наблюдаемых свойств всех элементарных частиц: [1]бозонов и фермионов, соответственно.[2].
Эту статью предлагается удалить. |
Пусть - вещественное векторное пространство, снабженное невырожденной вещественной антисимметричной билинейной формой (т.е. симплектическое векторное пространство). унитальная *-алгебра, порожденная элементами , в которой выполняются соотношения
для любых в называется алгеброй канонических коммутационных соотношений (ККС-алгеброй).
Если, наоборот, снабжено невырожденной вещественной симметричной билинейной формой[англ.] унитальная *-алгебра, порожденная элементами , в которой выполняются соотношения
для всех в называется алгеброй канонических антикоммутационных соотношений (КАС-алгеброй).
Существует отдельное, но тесно связанная с основной разновидность ККС-алгебры, называемая ККС C*-алгеброй. Пусть - вещественное симплектическое векторное пространство с неособой симплектической формой . В теории операторных алгебр алгебра ККС над является унитальной C*-алгеброй, порожденной элементами обладающими свойствами
Они называются формой Вейля канонических коммутационных соотношений и, в частности, подразумевают, что каждый элемент является унитарным и . Хорошо известно, что ККС-алгебра является простой несепарабельной алгеброй и уникальна с точностью до изоморфизма.[3]
Когда является гильбертовым пространством, а задается мнимой частью внутреннего произведения, ККС-алгебра достоверно представляется на симметричном пространстве Фока поверх , при помощи соотношения:
для любых . Операторы поля определяются для каждого как генераторы однопараметрической унитарной группы на симметричном пространстве Фока. Они являются самосопряженными неограниченными операторами, однако они формально удовлетворяют соотношению
Поскольку отношение является вещественнолинейным, поэтому операторы определяют ККС-алгебру над в смысле раздел 1.
Пусть - гильбертово пространство. В теории операторных алгебр КАС-алгебра - это уникальное C*-пополнение комплексной унитальной *-алгебры, порожденной элементами с учетом отношений
для всех , . Когда отделима, КАС-алгебра представляет собой приближенно конечномерную C*-алгебру[англ.] и, в частном случае бесконечномерного , ее часто записывают как .[4]
Пусть будет антисимметричным пространством Фока над и пусть будет ортогональной проекцией на антисимметричные векторы:
КАС-алгебра точно представляется в , при помощи соотношения
для всех и . Тот факт, что они образуют C *-алгебру, объясняется тем фактом, что операторы рождения и уничтожения в антисимметричном пространстве Фока являются ограниченным операторами. Более того, операторы поля удовлетворяют соотношению
дающему связь с глава 1.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.