65 537 (число)

65 537 (шестьдесят пять тысяч пятьсот тридцать семь) — натуральное число, расположенное между числами 65 536 и 65 538. Оно является 6543-м простым числом, а относительно их последовательности расположено между 65521 и 65539^[1]. Принадлежит к последовательности чисел Ферма, равно ${\displaystyle 2^{2^{4}}+1.}$

65 537
шестьдесят пять тысяч пятьсот тридцать семь
← 65 535 · 65 536 · 65 537 · 65 538 · 65 539 →
Разложение на множители	65 537 (простое)
Римская запись	LXVDXXXVII
Двоичное	10000000000000001
Восьмеричное	200001
Шестнадцатеричное	10001

Математика

Сумма квадратов цифр числа 65 537 в десятичной записи — точный квадрат^[2]:

6² + 5² + 5² + 3² + 7² = 36 + 25 + 25 + 9 + 49 = 144 = 12².

65537 — простое число вида x⁴ + y^4[3].

Число 10^65 537 + 27 является простым, как и числа 10+27=37, 127, 10⁸³ + 27, 10¹⁶⁷ + 27, 10²⁴² + 27, 10¹⁴⁰⁸¹ + 27. Если существует следующее простое число этой формы, то показатель степени должен быть больше 100 000^[4].

Простое число Ферма

65 537 — наибольшее известное простое число в форме ${\displaystyle 2^{2^{n}}+1}$. Это значит, что правильный 65537-угольник может быть построен с помощью циркуля и немаркированной линейки^[5]. В теории чисел простые числа этой формы известны как простые числа Ферма, названные в честь французского математика Пьера Ферма^[6]. Первые числа Ферма являются простыми и равны^[7][8]

${\displaystyle 2^{2^{0}}+1=2^{1}+1=3,}$

${\displaystyle 2^{2^{1}}+1=2^{2}+1=5,}$

${\displaystyle 2^{2^{2}}+1=2^{4}+1=17,}$

${\displaystyle 2^{2^{3}}+1=2^{8}+1=257,}$

${\displaystyle 2^{2^{4}}+1=2^{16}+1=65\,537.}$

В 1732 году Эйлер показал, что следующее, пятое, число Ферма 4294967297 (число), является составным:

${\displaystyle 2^{2^{5}}+1=2^{32}+1=4\,294\,967\,297=641\times 6\,700\,417.}$

А в 1880 году, Ф. Лэндри показал, что шестое число Ферма 18446744073709551617 также разлагается на множители:

${\displaystyle 2^{2^{6}}+1=2^{64}+1=18\,446\,744\,073\,709\,551\,617=274\,177\times 67\,280\,421\,310\,721.}$

См. также

• Quartan prime^[англ.]

Примечания

1. Свойства числа 65537 Архивная копия от 11 мая 2017 на Wayback Machine ru.numberempire.com
2. Последовательность A175396 в OEIS: числа n, сумма квадратов цифр которых является точным квадратом // Фрагмент: 65 375, 65 402, 65 420, 65 537, 65 573, 65 666, 65 688
3. Последовательность A002645 в OEIS = Quartan primes: primes of the form x^4 + y^4, x>0, y>0 // Фрагмент: 39 041, 49 297, 54 721, 65 537, 65 617, 66 161, 66 977
4. Последовательность A108312 в OEIS = Integers n such that 10^n + 27 is prime. // Фрагмент: 1, 2, 83, 167, 242, 14 081, 65 537
5. Последовательность A045544 в OEIS: нечётные значения n, для которых правильный n-угольник может быть построен циркулем и линейкой
6. Последовательность A000215 в OEIS = Fermat numbers: 2^(2^n) + 1, n >= 0
7. Conway, J. H.; Guy, R. K. The Book of Numbers (англ.). — New York: Springer-Verlag, 1996. — P. 139. — ISBN 0-387-97993-X.
8. Последовательность A019434 в OEIS = Fermat primes: primes of the form 2^(2^k) + 1, for some k >= 0

Литература

• David Wells. 65 537 // The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers (англ.). — 1st ed. — Penguin Books, 1987. — P. 177. — 229 p. — ISBN 0-14-008029-5.
• Chris K. Caldwell, G. L. Honaker, Jr. 65537 // Prime Curios! The Dictionary of Prime Number Trivia (англ.). — CreateSpace, 2009. — P. 165—166. — 316 p. — ISBN 978-1448651702.

Ссылки

• 65537 в Prime Curious!
• Число 65537 в OEIS