Эйлерово частично упорядоченное множество

В комбинаторике эйлерово частично упорядоченное множество — это градуированное частично упорядоченное множество, в котором любой нетривиальный интервал имеет одно и то же число элементов чётного и нечётного рангов. Эйлерово частично упорядоченное множество, являющееся решёткой, называют эйлеровой решёткой. Название дано в честь известного швейцарского, прусского и российского математика Леонарда Эйлера. Эйлеровы решётки обобщают решётки граней выпуклых многогранников и многие современные исследования посвящены расширению известных результатов комбинаторики многогранников, таких как различные ограничения на f-векторы выпуклых симплициальных многогранников, на эти более общие случаи.

Примеры

• Решётка граней выпуклого многогранника, состоящая из его граней, вместе с наименьшим элементом, пустой гранью, и наибольшим элементом, самим многогранником, является эйлеровой решёткой. Условие чётности/нечётности вытекает из формулы Эйлера.
• Любая симплициальная обобщённая гомологическая сфера является эйлеровой решёткой.
• Пусть ${\displaystyle L}$ — регулярный клеточный комплекс, такой, что ${\displaystyle |L|}$ является многообразием, эйлерова характеристика которого совпадает с эйлеровой характеристикой сферы той же размерности (это условие пусто, если размерность нечётна). Тогда частично упорядоченное множество клеток комплекса ${\displaystyle L}$, порядок на которых задаётся включением их замыканий, является эйлеровым частично упорядоченным множеством.
• Пусть ${\displaystyle (W,\leq )}$ — группа Коксетера, снабженная порядком Брюа. Тогда ${\displaystyle (W,\leq )}$ является эйлеровым частично упорядоченным множеством.

Свойства

• Условия из определения эйлерового частичного упорядоченного множества ${\displaystyle P}$ можно эквивалентно переформулировать в терминах функции Мёбиуса:

${\displaystyle \mu _{P}(x,y)=(-1)^{|y|-|x|}}$ для всех ${\displaystyle x\leq y.}$

• Пусть ${\displaystyle P}$ – эйлерово частично упорядоченное множество с наибольшим элементом, тогда двойственное к нему частично упорядоченное множество, полученное обращением частичного порядка на ${\displaystyle P}$, тоже является эйлеровым.
• В 1997 году Ричард Стэнли ввёл понятие торического ${\displaystyle h}$-вектора для ранжированного частично упорядоченного множества. Это понятие обобщает понятие ${\displaystyle h}$-вектора для симплициального многогранника.^[1] Он доказал, что уравнения Дена — Сомервиля

${\displaystyle h_{k}=h_{d-k}\,}$

выполняются для любых эйлеровых частично упорядоченных множеств ранга ${\displaystyle d+1}$.^[2] Однако, для эйлеровых частично упорядоченных множеств, строящихся по регулярным клеточным комплексам или выпуклым многогранникам, торический ${\displaystyle h}$-вектор и сам не определяет однозначно число клеток или граней различных размерностей, и не определяется с помощью такой информации о клетках или гранях. Торический ${\displaystyle h}$-вектор на данный момент не имеет прямой комбинаторной интерпретации.

• Звездное произведение эйлеровых частично упорядоченных множеств снова является эйлеровым частично упорядоченным множеством.

Примечания

1. Stanley, 1997, с. 138.
2. Stanley, 1997, с. Theorem 3.14.9.

Литература

• Richard P. Stanley. Enumerative Combinatorics. — Cambridge University Press, 1997. — Т. 1. — ISBN 0-521-55309-1.