Центроид треугольника

Центроид треугольника (также барицентр треугольника и центр тяжести треугольника) — точка пересечения медиан в треугольнике^[1].

Центроид треугольника
Медианы и центроид треугольника
Барицентрические координаты	1 : 1 : 1
Трилинейные координаты	${\displaystyle {\frac {1}{a}}:{\frac {1}{b}}:{\frac {1}{c}}}$
Код ЭЦТ	X(2)
Связанные точки
Изогонально сопряженная	точка Лемуана
Изотомически сопряженная	она же
Дополнительная[исп.]	она же
Антидополнительная[исп.]	она же

Центроид традиционно обозначается латинской буквой ${\displaystyle M}$. Центроид треугольника относится к замечательным точкам треугольника и он перечислен в энциклопедии центров треугольника Кларка Кимберлинга, как точка X(2).

Свойства

• Центроид делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.
• Центроид лежит на отрезке, соединяющем ортоцентр и центр описанной окружности, и делит его в отношении 2:1 (см. прямая Эйлера).
• Если в вершины треугольника поместить равные массы, то центр масс (барицентр) полученной системы будет совпадать с центроидом. Более того, центр масс треугольника с равномерно распределённой внутри массой также находится в центроиде.
• Если ${\displaystyle M}$ — центроид треугольника ${\displaystyle ABC}$ то для любой точки ${\displaystyle O}$ верно равенство

  ${\displaystyle {\overrightarrow {OM}}={\frac {1}{3}}({\overrightarrow {OA}}+{\overrightarrow {OB}}+{\overrightarrow {OC}})}$.

• Центроид является точкой, для которой сумма квадратов расстояний до вершин треугольника принимает наименьшее значение (теорема Лейбница).
• Три отрезка прямых, соединяющих вершины треугольника с центроидом, разбивают данный треугольник на три равновеликих треугольника (равной площади).
• Три отрезка прямых, соединяющих середины сторон треугольника с центроидом, разбивают данный треугольник на три равновеликих четырёхугольника (равной площади).
• При изогональном сопряжении центроид переходит в точку Лемуана (в точку пересечения трех симедиан треугольника).
• Построим две прямые, каждая из которых проходит через точку Аполлония и точку Торричелли, отличную от изогонально сопряжённой ей. Такие прямые пересекутся в центроиде треугольника.
• Пусть ${\displaystyle ABC}$ — треугольник на плоскости. Окружность, проходящая через центроид и две точки Аполлония треугольника ${\displaystyle ABC}$, называется окружностью Парри треугольника ${\displaystyle ABC}$.
• Три чевианы, проведённые через произвольную точку ${\displaystyle O}$ внутри треугольника, делят своими концами стороны треугольника на шесть отрезков. Произведение длин трёх из этих шести отрезков, не имеющих общих концов, максимально, если точка ${\displaystyle O}$ совпадает с центроидом^[2].
• Сумма квадратов сторон треугольника равна утроенной сумме квадратов расстояний от центроида до вершин:

${\displaystyle AB^{2}+BC^{2}+CA^{2}=3(GA^{2}+GB^{2}+GC^{2})}$.^[3]

• Пусть ${\displaystyle q_{a}}$, ${\displaystyle q_{b}}$ и ${\displaystyle q_{c}}$ — расстояния от центроида до сторон с длинами, соответственно равными ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ и ${\displaystyle c}$. Тогда^[4]:173

${\displaystyle {\frac {q_{a}}{q_{b}}}={\frac {b}{a}},\quad {\frac {q_{b}}{q_{c}}}={\frac {c}{b}},\quad {\frac {q_{a}}{q_{c}}}={\frac {c}{a}}}$

и

${\displaystyle q_{a}\cdot a=q_{b}\cdot b=q_{c}\cdot c={\frac {2}{3}}S}$,

где ${\displaystyle S}$ — площадь треугольника.

История

Факт того, что три медианы пересекаются в одной точке, был доказан ещё Архимедом.

Вариации и обобщения. Центроиды в четырёхугольнике

• Центроид (барицентр или центр масс) произвольного четырёхугольника лежит в точке пересечения средних линий четырёхугольника и отрезка, соединяющего середины диагоналей, и делит все три отрезка пополам.
• Четыре отрезка, каждый из которых соединяет вершину четырёхугольника с центроидом треугольника, образованного оставшимися тремя вершинами, пересекаются в центроиде четырёхугольника и делятся им в отношении 3:1, считая от вершины
• Если во вписанном в окружность четырёхугольнике провести диагональ, а в полученные два треугольника вписать две окружности, затем аналогично поступить, проведя вторую диагональ, тогда центроиды этих четырёх треугольников лежат на одной окружности^[5].
• У выпуклого четырёхугольника, вписанного в окружность, «центроид площади» или центр масс его площади G_a, вершинный центроид или центр масс четырёх его вершин G_v и точка пересечения его диагоналей P коллинеарны. Расстояния между этими точками удовлетворяют формуле^[6]

${\displaystyle PG_{a}={\tfrac {4}{3}}PG_{v}.}$

См. также

• Барицентр
• Центр тяжести
• Центр масс
• Ортоцентр
• Инцентр
• Замечательные точки треугольника
• Геометрия треугольника

Примечания

1. Е. Смирнова. Планиметрия: виды задач и методы их решений. Элективный курс для учащихся 9—11 классов. — Litres, 2017-09-05. — С. 165. — 417 с.
2. Зетель, 1962, с. 12.
3. Altshiller-Court (1925, pp. 70–71)
4. Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry, Dover Publ. Co., 2007
5. Andreescu, Titu; Enescu, Bogdan (2004), "2.3 Cyclic quads", Mathematical Olympiad Treasures, Springer, pp. 44—46, 50, ISBN 978-0-8176-4305-8, MR 2025063
6. Bradley, Christopher (2011), Three Centroids created by a Cyclic Quadrilateral (PDF), Архивировано (PDF) 17 января 2021, Дата обращения: 27 апреля 2016

Литература

• Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 т. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 80-81. — ISBN 5-94057-170-0.
• Дм. Ефремов. Новая геометрия треугольника 1902 год
• Зетель С.И. Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей. 2-е издание. М: Учпедгиз, 1962. 153 с.
• Altshiller-Court, Nathan (1925), College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle (2nd ed.), New York: Barnes & Noble, LCCN 52013504