Плосконосая тришестиугольная мозаика

Плосконосая шестиугольная мозаика (или плосконосая тришестиугольная мозаика) — это полуправильная мозаика на евклидовой плоскости. В каждой вершине имеется четыре треугольника и один шестиугольник. Мозаика имеет символ Шлефли sr{3,6}. Плосконосая четырёхшестиугольная мозаика^[англ.] связана с гиперболической мозаикой с символом Шлефли sr{4,6}.

Плосконосая тришестиугольная мозаика
Тип	полуправильная мозаика
Конфигурация вершины	3.3.3.3.6
Символ Шлефли	sr{6,3} или ${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}6\\3\end{Bmatrix}}}$
Символ Витхоффа[англ.]	| 6 3 2
Диаграмма Коксетера — Дынкина
Симметрии	p6, [6,3]+, (632)
Симметрии вращения	p6, [6,3]+, (632)
Обозначение Бауэрса	Snathat
Двойственная мозаика	Цветочная пятиугольная мозаика
Свойства	вершинно транзитивная хиральная

Конвей назвал мозаику snub hextille (плосконосый шестипаркет), построенной с помощью операции отсечения углов и применённой к шестиугольному паркету (hextille).

Существует на плоскости 3 правильные и 8 полуправильных мозаик^[англ.]. Только одна не имеет отражения в качестве симметрии.

Существует только одна однородная раскраска плосконосой тришестиугольной мозаики (а именно, раскраска с индексами (3.3.3.3.6): 11213.)

Упаковка окружностей

Плосконосая тришестиугольная мозаика может быть использована как упаковка кругов, если разместить круги одинакового радиуса с центром в каждой вершине. Любая окружность соприкасается с 5 другими окружностями упаковки (контактное число)^[1]. Область решётки (красный ромб) содержит 6 различных окружностей. Шестиугольные дыры могут быть заполнены в точности одной окружностью, что приводит к плотной упаковке окружностей.

Связанные многогранники и мозаики

Существует одна связная 2-однородная мозаика, которая смешивает конфигурации вершин плосконосой тришестиугольной мозаики (3.3.3.3.6) и треугольной мозаики (3.3.3.3.3.3).

Однородные шестиугольные/треугольные мозаики
Фундаментальные домены	Симметрия: [6,3], (*632)							[6,3]+, (632)
	{6,3}	t{6,3}	r{6,3}	t{3,6}	{3,6}	rr{6,3}	tr{6,3}	sr{6,3}
Конфиг.	63	3.12.12	(6.3)2	6.6.6	36	3.4.6.4	4.6.12	3.3.3.3.6

Варианты симметрии

Эта полуправильная мозаика является членом последовательности усечённых многогранников и мозаик с вершинной фигурой (3.3.3.3.n) и диаграммой Коксетера — Дынкина . Эти фигуры и их двойственные имеют (n32) вращательную симметрию^[англ.] и являются мозаикой в евклидовой плоскости для n=6 и в гиперболической плоскости для всех больших n. Серию можно считать начинающейся с n=2 с одним набором граней, вырожденных в двуугольники.

n32 симметрии плосконосых мозаик: 3.3.3.3.n

Симметрия n32	Сферическая				Евклидоваn	Компактная гиперболич.		Паракомп.
	232	332	432	532	632	732	832	∞32
Плосконосые фигуры
Конфигурация	3.3.3.3.2	3.3.3.3.3	3.3.3.3.4	3.3.3.3.5	3.3.3.3.6	3.3.3.3.7	3.3.3.3.8	3.3.3.3.∞
Фигуры
Конфигурация	V3.3.3.3.2	V3.3.3.3.3	V3.3.3.3.4	V3.3.3.3.5	V3.3.3.3.6	V3.3.3.3.7	V3.3.3.3.8	V3.3.3.3.∞

Цветочная пятиугольная мозаика

Цветочная пятиугольная мозаика
Тип	Мозаика, двойственная полуправильной мозаике
Список граней	неправильные пятиугольники
Конфигурация граней	V3.3.3.3.6
Диаграмма Коксетера — Дынкина
Симметрии	p6, [6,3]+, (632)
Симметрии вращения	p6, [6,3]+, (632)
Двойственная мозаика	Плосконосая тришестиугольная мозаика
Свойства	гране транзитивная хиральная

Цветочная пятиугольная мозаика или розеточная пятиугольная мозаика является двойственной полуправильной мозаикой евклидовой плоскости. Это одна из 15 известных изоэдральных пятиугольных мозаик. Название мозаика получила за сходство шести пятиугольных плиток на цветок, лепестки которого расходятся из центральной точки^[2]. Конвей назвал эту мозаику 6-fold pentille (6-кратный пятипаркет)^[3]. Каждая грань мозаики имеет четыре угла 120° и один угол 60°.

Мозаика является двойственной для (однородной) плосконосой тришестиугольной мозаики^[4] и имеет вращательную симметрию порядка 6-3-2.

Вариации

Цветочная пятиугольная мозаика имеет геометрические вариации с неравными длинами сторон и вращательной симметрией, которая является моноэдральной пятиугольной мозаикой типа 5. В одном из пределов длина ребра стремится к нулю и мозаика становится дельтоидной тришестиугольной мозаикой^[англ.].

(См. анимацию)

a=b, d=e A=60°, D=120°

Дельтоидная тришестиугольная мозаика

a=b, d=e, c=0 60°, 90°, 90°, 120°

Связанные мозаики

Двойственные однородные шестиугольные/треугольные мозаики

Симметрия: [6,3], (*632)						[6,3]+, (632)
V63	V3.122	V(3.6)2	V36	V3.4.6.4	V.4.6.12	V34.6

См. также

• Мозаики из выпуклых правильных многоугольников на евклидовой плоскости
• Список однородных мозаик^[англ.]

Примечания

1. Critchlow, 1970, с. 74—75, pattern E.
2. Five space-filling polyhedra Архивная копия от 6 апреля 2013 на Wayback Machine by Guy Inchbald
3. Conway, Burgiel, Goodman-Strass, 2008, с. 288.
4. Weisstein, Eric W. Dual tessellation (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Литература

• John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. Chapter 19, The Hyperbolic Archimedean Tessellations, Chapter 21, Naming Archimedean and Catalan polyhedra and tilings // The Symmetries of Things. — 2008. — С. 288 table. — ISBN 978-1-56881-220-5. Архивная копия от 19 сентября 2010 на Wayback Machine
• B. Grünbaum, G.C. Shephard. list of 107 isohedral tilings // Tilings and Patterns. — New York: W. H. Freeman & Co., 1987. — С. 473—481. — ISBN 0-7167-1193-1.
• Williams R. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. — New York: Dover Publications, 1979. — С. 32. — ISBN 0-486-23729-X.
• Keith Critchlow. Order in Space: A design source book. — Thames & Hudson, 1970. — ISBN 0-500-34-033-1. Переиздание 2000
• Dale Seymour, Jill Britton. Introduction to Tessellations. — Palo Alto: Dale Seymour Publications, 1989. — С. 50—56. — ISBN 978-0866514613.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Uniform tessellation (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Semiregular tessellation (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Richard KlitzingP 2D Euclidean tilings s3s6s — snathat — O11 Архивная копия от 9 декабря 2017 на Wayback Machine