Характер (теория чисел)

Характер (или числовой характер, или характер Дирихле), это определённая арифметическая функция, которая возникает из вполне мультипликативных^[англ.] характеров на обратимых элементах ${\displaystyle \mathbb {Z} /k\mathbb {Z} }$. Характеры Дирихле используются для определения L-функций Дирихле, которые являются мероморфными функциями со множеством интересных аналитических свойств. Если ${\displaystyle \chi }$ является характером Дирихле, его L-ряд Дирихле определяется равенством

${\displaystyle L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}}$

где s — комплексное число с вещественной частью > 1. Путём аналитического продолжения эта функция может быть продолжена до мероморфной функции на всей комплексной плоскости. L-функции Дирихле являются обобщением дзета-функции Римана и заметно проявляются в обобщённых гипотезах Римана.

Характеры Дирихле названы в честь Петера Густава Лежёна Дирихле.

Аксиоматическое определение

Характер Дирихле — это любая функция ${\displaystyle \chi }$ на множестве целых чисел ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ с комплексными значениями, имеющая следующие свойства^[1]:

1. Существует положительное целое число k, такое что ${\displaystyle \chi (n)=\chi (n+k)}$ для любых n.
2. Если n и k не взаимно просты, то ${\displaystyle \chi (n)=0}$; если же они взаимно просты, ${\displaystyle \chi (n)\neq 0}$.
3. ${\displaystyle \chi (mn)=\chi (m)\chi (n)}$ для любых целых m и n.

Из этого определения можно вывести некоторые другие свойства. Согласно свойству 3) ${\displaystyle \chi (1)=\chi (1\times 1)=\chi (1)\chi (1)}$. Поскольку НОД(1, k) = 1, свойство 2) гласит, что ${\displaystyle \chi (1)\neq 0}$, так что

4. ${\displaystyle \chi (1)=1}$.

Свойства 3) и 4) показывают, что любой характер Дирихле ${\displaystyle \chi }$ является вполне мультипликативным^[англ.] характером.

Свойство 1) говорит, что характер является периодической функцией с периодом k. Мы говорим, что ${\displaystyle \chi }$ является характером по модулю k. Это эквивалентно утверждению, что

5. если ${\displaystyle a\equiv b{\pmod {k}}}$, то ${\displaystyle \chi (a)=\chi (b)}$.

Если НОД(a,k) = 1, теорема Эйлера утверждает, что ${\displaystyle a^{\varphi (k)}\equiv 1{\pmod {k}}}$ (где ${\displaystyle \varphi (k)}$ является функцией Эйлера). Таким образом, согласно свойствам 5) и 4), ${\displaystyle \chi (a^{\varphi (k)})=\chi (1)=1}$, а по свойству 3) ${\displaystyle \chi (a^{\varphi (k)})=\chi (a)^{\varphi (k)}}$. Следовательно,

6. Для всех a, взаимно простых с k, ${\displaystyle \chi (a)}$ является ${\displaystyle \varphi (k)}$-ым комплексным корнем из единицы,

то есть ${\displaystyle e^{2ri\pi /\varphi (k)}}$ для некоторого целого ${\displaystyle 0\leqslant r<\varphi (k)}$.

Единственный характер с периодом 1 называется тривиальным характером. Заметим, что любой характер обращается в 0 в точке 0, за исключением тривиального, который равен 1 для всех целых чисел.

• Характер, принимающий значение 1 на всех числах, взаимно простых с ${\displaystyle k}$, называется главным:

  ${\displaystyle \chi _{0}(n)=\left\{{\begin{array}{ll}1,&{\text{НОД}}(n,\;k)=1;\\0,&{\text{НОД}}(n,\;k)\neq 1.\end{array}}\right.}$^[2].

  • В группе характеров по модулю ${\displaystyle k}$ он играет роль единицы.

Характер называется вещественным, если он принимает только вещественные значения. Характер, не являющийся вещественным, называется комплексным^[3]

Знак характера ${\displaystyle \chi }$ зависит от его значения в точке −1. Говорят, что ${\displaystyle \chi }$ нечётный, если ${\displaystyle \chi (-1)=-1}$, и чётный, если ${\displaystyle \chi (-1)=1}$.

Построение через классы вычетов

Характеры Дирихле могут рассматриваться в терминах группы характеров^[англ.] группы обратимых элементов кольца ${\displaystyle \mathbb {Z} /k\mathbb {Z} }$ как расширенные характеры классов вычетов^[4].

Классы вычетов

Если дано целое число k, можно определить класс вычета целого числа n как множество всех целых чисел, сравнимых с n по модулю k: ${\displaystyle {\hat {n}}=\{m\mid m\equiv n{\pmod {k}}\}.}$ То есть класс вычетов ${\displaystyle {\hat {n}}}$ является классом смежности n в факторкольце ${\displaystyle \mathbb {Z} /k\mathbb {Z} }$.

Множество обратимых элементов по модулю k образует абелеву группу порядка ${\displaystyle \varphi (k)}$, где умножение в группе задаётся равенством ${\displaystyle {\widehat {mn}}={\hat {m}}{\hat {n}}}$, а ${\displaystyle \varphi }$ снова означает функцию Эйлера. Единицей в этой группе служит класс вычетов ${\displaystyle {\hat {1}}}$, а обратным элементом для ${\displaystyle {\hat {m}}}$ является класс вычетов ${\displaystyle {\hat {n}}}$, где ${\displaystyle {\hat {m}}{\hat {n}}={\hat {1}}}$, то есть ${\displaystyle mn\equiv 1{\pmod {k}}}$. Например, для k=6 множеством обратимых элементов является ${\displaystyle \{{\hat {1}},{\hat {5}}\}}$, поскольку 0, 2, 3 и 4 не взаимно просты с 6.

Группа характеров ${\displaystyle (\mathbb {Z} /k)^{*}}$ состоит из характеров классов вычетов. Характер класса вычетов ${\displaystyle \theta }$ на ${\displaystyle (\mathbb {Z} /k)^{*}}$ примитивен, если нет собственного делителя d для k, такого что ${\displaystyle \theta }$ факторизуются как ${\displaystyle (\mathbb {Z} /k)^{*}\to (\mathbb {Z} /d)^{*}\to \mathbb {C} ^{*}}$^[5].

Характеры Дирихле

Определение характера Дирихле по модулю k обеспечивает, чтобы он был ограничен характером^[англ.] группы обратимых элементов по модулю k^[6]: группа гомоморфизмов ${\displaystyle \chi }$ из ${\displaystyle (\mathbb {Z} /k)^{*}}$ в ненулевые комплексные числа

${\displaystyle \chi$ :(\mathbb {Z} /k\mathbb {Z} )^{*}\to \mathbb {C} ^{*}} ,

со значениями, которые обязательно будут корнями из единицы, поскольку обратимые элементы по модулю k образуют конечную группу. В обратном направлении, если дана группа гомоморфизмов ${\displaystyle \chi }$ на группе обратимых элементов по модулю k, мы можем поднять^[англ.] до вполне мультипликативной^[англ.] функции на целых числах, взаимно простых с k, а затем расширить эту функцию на все целые числа путём присвоения значения 0 на всех целых числах, имеющих нетривиальные делители, общие с k. Получающаяся функция будет тогда характером Дирихле^[7].

Главный характер ${\displaystyle \chi _{1}}$ по модулю k имеет свойства ^[7]

${\displaystyle \chi _{1}(n)=1}$ при НОД(n, k) = 1 и

${\displaystyle \chi _{1}(n)=0}$ при НОД(n, k) > 1.

Ассоциированный характер мультипликативной группе ${\displaystyle (\mathbb {Z} /k)^{*}}$ является главным характером, который всегда принимает значение 1^[8].

Когда k равен 1, главный характер по модулю k равен 1 на всех целых чисел. Для k, большего 1, главные характеры по модулю k обращаются в нуль в целых числах, имеющих ненулевые общие множители с k, и равно 1 на других целых числах.

Имеется ${\displaystyle \varphi (n)}$ характеров Дирихле по модулю n^[7].

Примеры

• Для любого нечётного модуля ${\displaystyle k}$ символ Якоби ${\displaystyle \left({\frac {n}{k}}\right)}$ является характером по модулю ${\displaystyle k}$.
• Степенной вычет степени выше 2 — это невещественный характер.

Некоторые таблицы характеров

Таблицы ниже помогают иллюстрировать природу характеров Дирихле. Они представляют характеры по модулю от 1 до 10. Характеры ${\displaystyle \chi _{1}}$ являются главными характерами.

По модулю 1

Существует ${\displaystyle \varphi (1)=1}$ характер по модулю 1:

${\displaystyle \chi \setminus n}$	0
${\displaystyle \chi _{1}(n)}$	1

Это тривиальный характер.

По модулю 2

Существует ${\displaystyle \varphi (2)=1}$ характер по модулю 2:

${\displaystyle \chi \setminus n}$	0	1
${\displaystyle \chi _{1}(n)}$	0	1

Заметим, что ${\displaystyle \chi }$ полностью определяется значением ${\displaystyle \chi (1)}$, поскольку 1 порождает группу обратимых элементов по модулю 2.

По модулю 3

Есть ${\displaystyle \varphi (3)=2}$ характера по модулю 3:

${\displaystyle \chi \setminus n}$	0	1	2
${\displaystyle \chi _{1}(n)}$	0	1	1
${\displaystyle \chi _{2}(n)}$	0	1	−1

Заметим, что ${\displaystyle \chi }$ полностью определяется значением ${\displaystyle \chi (2)}$, поскольку 2 порождает группу обратимых элементов по модулю 3.

По модулю 4

Существует ${\displaystyle \varphi (4)=2}$ характера по модулю 4:

${\displaystyle \chi \setminus n}$	0	1	2	3
${\displaystyle \chi _{1}(n)}$	0	1	0	1
${\displaystyle \chi _{2}(n)}$	0	1	0	−1

Заметим, что ${\displaystyle \chi }$ полностью определяется значением ${\displaystyle \chi (3)}$, поскольку 3 порождает группу обратимых элементов по модулю 4.

L-ряд Дирихле для ${\displaystyle \chi _{1}(n)}$ равен лямбда-функции Дирихле (тесно связанной с эта-функцией Дирихле)

${\displaystyle L(\chi _{1},s)=(1-2^{-s})\zeta (s)}$,

где ${\displaystyle \zeta (s)}$ является дзета-функцией Римана. L-ряд для ${\displaystyle \chi _{2}(n)}$ является бета-функцией Дирихле

${\displaystyle L(\chi _{2},s)=\beta (s).\,}$

По модулю 5

Существует ${\displaystyle \varphi (5)=4}$ характеров по модулю 5. В таблицах i является квадратным корнем из ${\displaystyle -1}$.

${\displaystyle \chi \setminus n}$	0	1	2	3	4
${\displaystyle \chi _{1}(n)}$	0	1	1	1	1
${\displaystyle \chi _{2}(n)}$	0	1	i	−i	−1
${\displaystyle \chi _{3}(n)}$	0	1	−1	−1	1
${\displaystyle \chi _{4}(n)}$	0	1	−i	i	−1

Заметим, что ${\displaystyle \chi }$ полностью определяется значение ${\displaystyle \chi (2)}$, поскольку 2 порождает группу обратимых элементов по модулю 5.

По модулю 6

Существует ${\displaystyle \varphi (6)=2}$ характеров по модулю 6:

${\displaystyle \chi \setminus n}$	0	1	2	3	4	5
${\displaystyle \chi _{1}(n)}$	0	1	0	0	0	1
${\displaystyle \chi _{2}(n)}$	0	1	0	0	0	−1

Заметим, что ${\displaystyle \chi }$ полностью определяется значением${\displaystyle \chi (5)}$, поскольку 5 порождает группу обратимых элементов по модулю 6.

По модулю 7

Существует ${\displaystyle \varphi (7)=6}$ характеров по модулю 7. В таблице ниже ${\displaystyle \omega =\exp(\pi i/3).}$

${\displaystyle \chi \setminus n}$	0	1	2	3	4	5	6
${\displaystyle \chi _{1}(n)}$	0	1	1	1	1	1	1
${\displaystyle \chi _{2}(n)}$	0	1	${\displaystyle \omega ^{2}}$	${\displaystyle \omega }$	${\displaystyle -\omega }$	${\displaystyle -\omega ^{2}}$	−1
${\displaystyle \chi _{3}(n)}$	0	1	−${\displaystyle \omega }$	${\displaystyle \omega ^{2}}$	${\displaystyle \omega ^{2}}$	${\displaystyle -\omega }$	1
${\displaystyle \chi _{4}(n)}$	0	1	1	−1	1	−1	−1
${\displaystyle \chi _{5}(n)}$	0	1	${\displaystyle \omega ^{2}}$	${\displaystyle -\omega }$	${\displaystyle -\omega }$	${\displaystyle \omega ^{2}}$	1
${\displaystyle \chi _{6}(n)}$	0	1	${\displaystyle -\omega }$	${\displaystyle -\omega ^{2}}$	${\displaystyle \omega ^{2}}$	${\displaystyle \omega }$	−1

Заметим, что ${\displaystyle \chi }$ полностью определяется значением ${\displaystyle \chi (3)}$, поскольку 3 порождает группу обратимых элементов по модулю 7.

По модулю 8

Существует ${\displaystyle \varphi (8)=4}$ характеров по модулю 8.

${\displaystyle \chi \setminus n}$	0	1	2	3	4	5	6	7
${\displaystyle \chi _{1}(n)}$	0	1	0	1	0	1	0	1
${\displaystyle \chi _{2}(n)}$	0	1	0	1	0	−1	0	−1
${\displaystyle \chi _{3}(n)}$	0	1	0	−1	0	1	0	−1
${\displaystyle \chi _{4}(n)}$	0	1	0	−1	0	−1	0	1

Заметим, что ${\displaystyle \chi }$ полностью определяется значениями ${\displaystyle \chi (3)}$ и ${\displaystyle \chi (5)}$, поскольку 3 и 5 порождают группу обратимых элементов по модулю 8.

По модулю 9

Существует ${\displaystyle \varphi (9)=6}$ характеров по модулю 9. В таблице ниже ${\displaystyle \omega =\exp(\pi i/3).}$

${\displaystyle \chi \setminus n}$	0	1	2	3	4	5	6	7	8
${\displaystyle \chi _{1}(n)}$	0	1	1	0	1	1	0	1	1
${\displaystyle \chi _{2}(n)}$	0	1	${\displaystyle \omega }$	0	${\displaystyle \omega ^{2}}$	${\displaystyle -\omega ^{2}}$	0	${\displaystyle -\omega }$	−1
${\displaystyle \chi _{3}(n)}$	0	1	${\displaystyle \omega ^{2}}$	0	${\displaystyle -\omega }$	${\displaystyle \omega }$	0	${\displaystyle \omega ^{2}}$	1
${\displaystyle \chi _{4}(n)}$	0	1	−1	0	1	−1	0	1	−1
${\displaystyle \chi _{5}(n)}$	0	1	${\displaystyle -\omega }$	0	${\displaystyle \omega ^{2}}$	${\displaystyle \omega ^{2}}$	0	${\displaystyle -\omega }$	1
${\displaystyle \chi _{6}(n)}$	0	1	${\displaystyle -\omega ^{2}}$	0	${\displaystyle -\omega }$	${\displaystyle \omega }$	0	${\displaystyle \omega ^{2}}$	−1

Заметим, что ${\displaystyle \chi }$ полностью определяется значением${\displaystyle \chi (2)}$, поскольку 2 порождает группу обратимых элементов по модулю 9.

По модулю 10

Существует ${\displaystyle \varphi (10)=4}$ характеров по модулю 10.

${\displaystyle \chi \setminus n}$	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
${\displaystyle \chi _{1}(n)}$	0	1	0	1	0	0	0	1	0	1
${\displaystyle \chi _{2}(n)}$	0	1	0	i	0	0	0	−i	0	−1
${\displaystyle \chi _{3}(n)}$	0	1	0	−1	0	0	0	−1	0	1
${\displaystyle \chi _{4}(n)}$	0	1	0	−i	0	0	0	i	0	−1

Заметим, что ${\displaystyle \chi }$ полностью определяется значением ${\displaystyle \chi (3)}$, поскольку 3 порождает группу обратимых элементов по модулю 10.

Примеры

Если p является нечётным простым числом, то функция

${\displaystyle \chi (n)=\left({\frac {n}{p}}\right),\ }$ где ${\displaystyle \left({\frac {n}{p}}\right)}$ является символом Лежандра, является примитивным характером Дирихле по модулю p^[9].

Более обще, если m является положительным нечётным числом, функция

${\displaystyle \chi (n)=\left({\frac {n}{m}}\right),\ }$ где ${\displaystyle \left({\frac {n}{m}}\right)}$ является символом Якоби, является характером Дирихле по модулю m^[9].

Это квадратичные характеры — в общем случае примитивные квадратичные характеры возникают в точности из cимвола Кронекера — Якоби^[10].

Примитивные характеры и кондуктор

При переходе от вычетов по модулю N к вычетам по модулю M для любого множителя M числа N происходит потеря информации. Эффект характеров Дирихле дает противоположный результат – если ${\displaystyle \chi *}$ является характером по модулю M, он индуцирует характер ${\displaystyle \chi *}$ по модулю N для любого N, кратного M. Характер является примитивным, если он не индуцируется каким-либо характером по меньшему модулю^[3].

Если ${\displaystyle \chi }$ – характер по модулю n и d делит n, мы говорим, что модуль d является индуцированным модулем для ${\displaystyle \chi }$, если ${\displaystyle \chi (a)=1}$ для всех a, взаимно простых с n и 1 mod d^[11]: характер примитивен, если нет меньшего индуцированного модуля^[12].

Мы можем это формализовать различным образом путём определения характеров ${\displaystyle \chi _{1}\mod N_{1}}$ и ${\displaystyle \chi _{2}\mod N_{2}}$ как согласованных, если для некоторого модуля N, такого что N₁ и N₂ оба делят N, мы имеем ${\displaystyle \chi _{1}(n)=\chi _{2}(n)}$ для всех n взаимно простых с N, то есть существует некоторый характер ${\displaystyle \chi *}$, порождённый как ${\displaystyle \chi _{1}}$, так и ${\displaystyle \chi _{2}}$. Это отношение эквивалентности на характерах. Характер с наименьшим модулем в классе эквивалентности является примитивным, и этот наименьший модуль является кондуктором характеров в классе.

Непримитивность характеров может привести к отсутствию эйлеровых множителей^[англ.] в их L-функциях.

Ортогональность характеров

Ортогональность характеров конечной группы переносится на характеры Дирихле^[13].

Если мы зафиксируем характер ${\displaystyle \chi }$ по модулю n, то

${\displaystyle \sum _{a{\bmod {n}}}\chi (a)=0}$,

если ${\displaystyle \chi }$ не главный характер, иначе сумма равна ${\displaystyle \varphi (n)}$.

Аналогично, если зафиксировать класс вычетов a по модулю n, то сумма по всем характерам даёт

${\displaystyle \sum _{\chi }\chi (a)=0}$,

кроме случая a=1, когда сумма равна ${\displaystyle \varphi (n)}$.

Отсюда делаем вывод, что любая периодическая функция с периодом n над классом вычетов, взаимно простых с n, является линейной комбинацией характеров Дирихле^[14].

История

Характеры Дирихле вместе с их ${\displaystyle L}$-рядами были введены Дирихле в 1831 году, в рамках доказательства теоремы Дирихле о бесконечности числа простых чисел в арифметических прогрессиях. Он изучал их только для ${\displaystyle s\in \mathbb {R} }$ и в основном когда ${\displaystyle s}$ стремится к 1. Расширение этих функций на всю комплексную плоскость было получено Риманом в 1859 году.

См. также

• Характер Гекке^[англ.]
• Сумма характеров^[англ.]
• Сумма Гаусса
• Примитивный корень по модулю n
• Класс Сельберга^[англ.]

Примечания

1. Montgomery, Vaughan, 2007, с. 117-8.
2. Montgomery, Vaughan, 2007, с. 115.
3. Montgomery, Vaughan, 2007, с. 123.
4. Fröhlich, Taylor, 1991, с. 218.
5. Fröhlich, Taylor, 1991, с. 215.
6. Apostol, 1976, с. 139.
7. Apostol, 1976, с. 138.
8. Apostol, 1976, с. 134.
9. Montgomery, Vaughan, 2007, с. 295.
10. Montgomery, Vaughan, 2007, с. 296.
11. Apostol, 1976, с. 166.
12. Apostol, 1976, с. 168.
13. Apostol, 1976, с. 140.
14. Davenport, 1967, с. 31–32.

Литература

• Apostol T. M. Introduction to analytic number theory. — New York-Heidelberg: Springer-Verlag, 1976. — (Undergraduate Texts in Mathematics). — ISBN 978-0-387-90163-3.
• Apostol T. M. Some properties of completely multiplicative arithmetical functions // The American Mathematical Monthly. — 1971. — Т. 78, вып. 3. — С. 266–271. — doi:10.2307/2317522. — JSTOR 2317522.
• Harold Davenport. Multiplicative number theory. — Chicago: Markham, 1967. — Т. 1. — (Lectures in advanced mathematics).
  • Дэвенпорт Г. Мультипликативная теория чисел. — М.: «Наука», 1971.
• Helmut Hasse. Vorlesungen über Zahlentheorie. — 2nd revised. — Springer-Verlag. — Т. 59. — (Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen). см. главу 13.
  • Хассе Г. Лекции по теории чисел. — М.: Иностранной литературы, 1953.
• Mathar, R. J. (2010). "Table of Dirichlet L-series and prime zeta modulo functions for small moduli". arXiv:1008.2547 [math.NT].
• Hugh L Montgomery, Robert C. Vaughan. Multiplicative number theory. I. Classical theory. — Cambridge University Press, 2007. — Т. 97. — (Cambridge Studies in Advanced Mathematics). — ISBN 0-521-84903-9.
  • Монтгомери Г. Мультипликативная теория чисел. — М.: «Мир», 1974.
• Robert Spira. Calculation of Dirichlet L-Functions // Mathematics of Computation. — 1969. — Т. 23, вып. 107. — С. 489–497. — doi:10.1090/S0025-5718-1969-0247742-X.
• Fröhlich A., Taylor M.J. Algebraic number theory. — Cambridge University Press, 1991. — Т. 27. — (Cambridge studies in advanced mathematics). — ISBN 0-521-36664-X.

Литература

• Галочкин А. И., Нестеренко Ю. В., Шидловский А. Б. Введение в теорию чисел. — М.: Изд-во Московского университета, 1984.
• Карацуба А. А. Основы аналитической теории чисел. — 3-е изд. — М.: УРСС, 2004.