Символ Лежандра

Символ Лежандра — функция, используемая в теории чисел. Введён французским математиком А. М. Лежандром. Символ Лежандра является частным случаем символа Якоби, который, в свою очередь, является частным случаем символа Кронекера — Якоби, который иногда называют символом Лежандра — Якоби — Кронекера.

Определение

Пусть ${\displaystyle a}$ — целое число, и ${\displaystyle p\neq 2}$ — простое число. Символ Лежандра ${\displaystyle \textstyle \left({\frac {a}{p}}\right)}$ определяется следующим образом:

• ${\displaystyle \textstyle \left({\frac {a}{p}}\right)=0}$, если ${\displaystyle a}$ делится на ${\displaystyle p;}$
• ${\displaystyle \textstyle \left({\frac {a}{p}}\right)=1}$, если ${\displaystyle a}$ является квадратичным вычетом по модулю ${\displaystyle p}$, но при этом ${\displaystyle a}$ не делится на ${\displaystyle p;}$
• ${\displaystyle \textstyle \left({\frac {a}{p}}\right)=-1}$, если ${\displaystyle a}$ является квадратичным невычетом по модулю ${\displaystyle p.}$

Свойства

• Мультипликативность: ${\displaystyle \left({\frac {ab}{p}}\right)=\left({\frac {a}{p}}\right)\left({\frac {b}{p}}\right)}$. Очевидными свойствами мультипликативности являются также следующие:
  • если ${\displaystyle a}$ не делится на ${\displaystyle p}$, то ${\displaystyle \left({\frac {a^{2}}{p}}\right)=1;}$
  • если ${\displaystyle a=p_{1}^{\alpha _{1}}\cdot p_{2}^{\alpha _{2}}\cdot \ldots \cdot p_{k}^{\alpha _{k}}}$ — каноническое разложение ${\displaystyle a}$ на простые множители, то

    ${\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)=\left({\frac {p_{1}}{p}}\right)^{\alpha _{1}{\pmod {2}}}\cdot \left({\frac {p_{2}}{p}}\right)^{\alpha _{2}{\pmod {2}}}\cdot \ldots \cdot \left({\frac {p_{k}}{p}}\right)^{\alpha _{k}{\pmod {2}}}}$.

• Если ${\displaystyle a\equiv b{\pmod {p}}}$, то

  ${\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)=\left({\frac {b}{p}}\right)}$.

• ${\displaystyle \left({\frac {1}{p}}\right)=1}$.
• Лемма Гаусса о квадратичных вычетах.
• Критерий Эйлера:

${\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)\equiv a^{(p-1)/2}{\pmod {p}}.}$

• Если ${\displaystyle p\neq 2}$, то:

${\displaystyle \left({\frac {-1}{p}}\right)=(-1)^{(p-1)/2}}$ (частный случай критерия Эйлера);

${\displaystyle \left({\frac {2}{p}}\right)=(-1)^{(p^{2}-1)/8}.}$

Доказательство

Если ${\displaystyle x<{\frac {p}{2}}}$ и ${\displaystyle x}$ нечётно, то ${\displaystyle p-x>{\frac {p}{2}}}$, причём ${\displaystyle p-x}$ чётно, и наоборот. Поэтому

${\displaystyle 1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot \ldots \cdot {\frac {p-1}{2}}=}$

${\displaystyle =(-(-1))\cdot 2\cdot (-(-3))\cdot 4\cdot \ldots \cdot \left({\pm \left({\pm {\frac {p-1}{2}}}\right)}\right)\equiv }$

${\displaystyle \equiv (-{\color {blue}{(p-1)}})\cdot {\color {red}{2}}\cdot (-{\color {blue}{(p-3)}})\cdot {\color {red}{4}}\cdot \ldots \cdot \left({\pm \left({\pm {\frac {p-1}{2}}}\right)}\right){\pmod {p}}\ ,}$

где в последнем произведении числа под знаками чётны, причём встречаются все чётные числа. Таким образом, обозначая ${\displaystyle s={\frac {p-1}{2}}}$, имеем

${\displaystyle s!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot \ldots \cdot {\frac {p-1}{2}}\equiv }$

${\displaystyle \equiv (-1)^{\lfloor {(s+1)/2}\rfloor }\cdot {\color {red}{2}}\cdot {\color {red}{4}}\cdot \ldots \cdot {\color {blue}{(p-3)}}\cdot {\color {blue}{(p-1)}}=(-1)^{\lfloor {(s+1)/2}\rfloor }\cdot 2^{s}(s!){\pmod {p}}}$

Поэтому ${\displaystyle 2^{s}\equiv (-1)^{\lfloor {(s+1)/2}\rfloor }=(-1)^{\frac {s(s+1)}{2}}=(-1)^{\frac {p^{2}-1}{8}}}$, что, по критерию Эйлера, доказывает утверждение.

• Квадратичный закон взаимности: Пусть p и q — неравные нечетные простые числа, тогда

  ${\displaystyle \left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{{\frac {p-1}{2}}\cdot {\frac {q-1}{2}}}\cdot \left({\frac {p}{q}}\right).}$

• Если ${\displaystyle p\equiv q{\pmod {4\cdot a}}}$, то

${\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)=\left({\frac {a}{q}}\right)}$.

• При ${\displaystyle p\neq 2}$ среди чисел ${\displaystyle 1\leqslant a\leqslant p-1}$ ровно половина имеет символ Лежандра, равный 1, а другая половина — равный −1.

Литература

• Виноградов И. М. Основы теории чисел. — Москва: ГИТТЛ, 1952. — С. 180. — ISBN 5-93972-252-0.