Комплексная функция

Эта статья — о функции комплексной переменной. О функции вещественной переменной с комплексными значениями см. комплекснозначная функция.

Комплексная функция — основной объект изучения теории функций комплексной переменной, комплекснозначная функция комплексного аргумента: ${\displaystyle f\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} }$.

Как и комплекснозначная функция вещественной переменной может быть представлена в виде:

${\displaystyle f(z)=u(z)+iv(z)}$,

где ${\displaystyle u(z)}$ и ${\displaystyle v(z)}$ — вещественнозначные функции комплексного аргумента, называемые соответственно вещественной и мнимой частью функции ${\displaystyle f(z)}$. В отличие от вещественных функций, между компонентами разложения имеется более глубокая связь, например, для того, чтобы функция ${\displaystyle f(z)}$ была дифференцируема в смысле функции комплексной переменной, должны выполняться условия Коши — Римана:

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}}$;

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}}$.

Примерами аналитических функций комплексной переменной являются: степенная функция, экспонента, гамма-функция, дзета-функция Римана, хребтовая функция и многие другие, а также обратные им функции и любые их комбинации. Однако действительная часть комплексного числа ${\displaystyle \mathrm {Re} \,z}$, мнимая часть ${\displaystyle \mathrm {Im} \,z}$, комплексное сопряжение ${\displaystyle {\bar {z}}}$, модуль ${\displaystyle r=|z|}$ и аргумент ${\displaystyle \varphi (z)}$ аналитическими функциями комплексного переменного не являются, так как не удовлетворяют условиям Коши — Римана.

Свойства функций комплексного переменного

В отличие от функций действительного переменного, которые могут быть дифференцируемы конечное число раз, функция комплексного переменного, имеющая в некоторой области первую производную, является бесконечно дифференцируемой в этой области, то есть обладает производными любого порядка.

Это одно из удивительных свойств функций комплексного переменного, связанное с понятием аналитичности. Если функция комплексного переменного дифференцируема в некоторой области, она автоматически становится аналитической, что означает её разложимость в степенной ряд (ряд Тейлора) вблизи любой точки этой области. При этом данный ряд будет сходиться к функции в пределах определённого радиуса сходимости.

Такое поведение сильно отличается от поведения функций действительного переменного, где наличие одной или нескольких производных вовсе не гарантирует бесконечную дифференцируемость функции.

Литература

• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969. — 577 с.
• Титчмарш Е. Теория функций: Пер. с англ. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, 1980. — 464 с.
• Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного: Пособие для высшей школы. — М.—Л.: Государственное издательство, 1927. — 316 с.
• Евграфов М. А. Аналитические функции. — 2-е изд., перераб. и дополн. — М.: Наука, 1968. — 472 с.
• Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной. — М.: Наука, 1974. — 320 с.