Тетрация

Тетра́ция (гиперопера́тор-4) в математике — итерационная функция экспоненты, следующий гипероператор после возведения в степень. Тетрация используется для описания больших чисел.

Термин «тетрация», состоящий из слов «тетра-» (четыре) и «итерация» (повторение), был впервые применён английским математиком Рубеном Гудстейном в 1947 году^[1].

Определения

Тетрация как степенная башня

Для любого положительного вещественного числа ${\displaystyle a>0}$ и неотрицательного целого числа ${\displaystyle n\geqslant 0}$, тетрацию ${\displaystyle {}^{n}a}$ можно определить рекуррентно:

• ${\displaystyle {}^{0}a=1,}$
• ${\displaystyle {}^{n}a=a^{({}^{n-1}a)},\,n>0.}$

Согласно данному определению, вычисление тетрации, записанной как «степенная башня», возведение в степень начинается с самых дальних уровней к начальному (в данной системе обозначений, с самого наивысшего показателя степени):

${\displaystyle {}^{4}2=2^{2^{2^{2}}}=2^{\left(2^{\left(2^{2}\right)}\right)}=2^{(2^{4})}=2^{16}=65536.}$

Или:

${\displaystyle {}^{5}2=2^{2^{2^{2^{2}}}}=2^{\left(2^{\left(2^{\left(2^{2}\right)}\right)}\right)}=2^{(2^{16})}=2^{65536}.}$

При этом, так как возведение в степень не является ассоциативной операцией, то вычисление выражения в другом порядке приведёт к другому ответу:

${\displaystyle 2^{2^{2^{2}}}\neq \left((2^{2})^{2}\right)^{2}=2^{2\cdot 2\cdot 2}=2^{8}=256.}$

Или:

${\displaystyle 2^{2^{2^{2^{2}}}}\neq \left(((2^{2})^{2})^{2}\right)^{2}=2^{2\cdot 2\cdot 2\cdot 2}=2^{16}=65536.}$

Таким образом, степенные башни должны вычисляться сверху вниз (или справа налево), то есть, иначе говоря, они обладают правой ассоциативностью.

Тетрация как гипероператор

Основная статья: Гипероператор

${\displaystyle \scriptstyle {\lim \limits _{n\to \infty }{^{n}x}}}$. Бесконечное возведение в степень для основания ${\displaystyle \scriptstyle {(1/e)^{e}\leqslant x\leqslant e^{1/e}}}$.

Предел ${\displaystyle {}^{n}x}$ при ${\displaystyle \scriptstyle {n\to \infty }}$, является положительным вещественным решением уравнения ${\displaystyle y=x^{y}}$. Тоесть, ${\displaystyle x=y^{1/y}}$. Предела ${\displaystyle {}^{n}x}$ не существует когда ${\displaystyle \scriptstyle {x>e^{1/e}}}$, так как максимум функции ${\displaystyle y^{1/y}}$ это ${\displaystyle e^{1/e}}$ e (число). Поэтому значений для ${\displaystyle \scriptstyle {x>e^{1/e}}}$ нет. Предела также не существует когда ${\displaystyle \scriptstyle {0<x<e^{-e}}}$.

Тетрация является четвёртой по счёту гипероперацией:

1. сложение:

   ${\displaystyle a+b=a+\underbrace {1+1+\ldots +1} _{b};}$

2. умножение:

   ${\displaystyle a\times b=\underbrace {a+a+\ldots +a} _{b};}$

3. возведение в степень:

   ${\displaystyle a^{b}=\underbrace {a\times a\times \ldots \times a} _{b};}$

4. тетрация:

   ${\displaystyle {^{b}a}=\underbrace {a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{a}}}}}} _{b}.}$

Здесь каждая операция является итерацией предыдущей.

Свойства

• Тетрация не считается элементарной функцией (за исключением случаев с постоянным натуральным показателем, когда тетрация выражается в виде степенной башни постоянной высоты).
• В силу некоммутативности тетрация имеет две обратных операции — суперлогарифм и суперкорень (аналогично тому, как возведение в степень имеет две обратные функции: арифметический корень и логарифм).

Для тетрации в общем случае неверны следующие характерные для предыдущих операторов свойства:

• ${\displaystyle {}^{b}({}^{c}a)\neq {}^{c}({}^{b}a)}$, например: ${\displaystyle {}^{3}({}^{2}2)=({}^{2}2)^{({}^{2}2)^{({}^{2}2)}}=4^{4^{4}}=4^{256}}$, но ${\displaystyle {}^{2}({}^{3}2)=({}^{3}2)^{({}^{3}2)}=16^{16}=4^{32}}$.
• ${\displaystyle {}^{b+c}a}$ не равно ни ${\displaystyle {}^{b}a+{}^{c}a}$, ни ${\displaystyle {}^{b}a\times {}^{c}a}$, например: ${\displaystyle {}^{1+2}3={}^{3}3=3^{27}\neq {}^{1}3+{}^{2}3\neq {}^{1}3\times {}^{2}3}$, так как ${\displaystyle {}^{1}3+{}^{2}3=30;{}^{1}3\times {}^{2}3=81}$.

Примечание: однако, верно ${\displaystyle \underbrace {\log _{a}{\log _{a}{...{\log _{a}}}}} _{b}{({}^{b+c}a)}={}^{c}a}$ или ${\displaystyle \underbrace {\log _{a}{\log _{a}{...{\log _{a}}}}} _{c}{({}^{b+c}a)}={}^{b}a}$.

• Тетрация минус единицы равна минус единице:

${\displaystyle {^{n}(-1)}=\underbrace {(-1)^{(-1)^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{(-1)}}}}}} _{n}=-1,n>0}$

Терминология

Существует несколько терминов для определения понятия тетрация и за каждым из них стоит своя логика, но некоторые из них не стали общепринятыми в силу тех или иных причин. Ниже приведено несколько подобных примеров.

• Термин «тетрация», использованный Рубеном Гудстейном в 1947 году в работе «Transfinite Ordinals in Recursive Number Theory» (обобщение рекуррентных представлений в теореме Гудстейна, используемых для высших операторов), имеет доминирующее положение в терминологии. Также этот термин был популяризован в работе Руди Руккера (англ. Rudy Rucker) «Infinity and the Mind».
• Термин «супервозведение в степень» (англ. superexponentiation) был опубликован Бромером (англ. Bromer) в его работе «Superexponentiation» в 1987 году.^[2] Данный термин был ранее использован Эдом Нельсоном (англ. Ed Nelson) в его книге «Предикативная Арифметика» (англ. «Predicative Arithmetic»)^[3].
• Термин «гиперстепень» (англ. hyperpower)^[4] есть естественная комбинация понятий «гипер-» и «степень», который подходящим образом описывает тетрацию. Проблема лежит в понятии самого термина «гипер» относительно иерархии гипероператоров. Когда мы рассматриваем гипероператоры, термин «гипер» относится ко всем рангам, а термин «супер» относится к рангу 4, или тетрации. Таким образом, при данных обстоятельствах, понятие «гиперстепень» может ввести в заблуждение, так как оно относится только к понятию тетрация.
• Термин «степенная башня» (англ. power tower)^[5] иногда используется, в форме «степенная башня порядка ${\displaystyle n}$» для ${\displaystyle \underbrace {a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{a}}}}}} _{n}}$.

Тетрацию также часто путают с другими тесно связанными функциями и выражениями. Ниже приведено несколько связанных терминов:

Форма	Терминология
${\displaystyle a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{a}}}}}}$	Тетрация
${\displaystyle a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{a^{x}}}}}}}$	Итерационные экспоненты
${\displaystyle a_{1}^{a_{2}^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{a_{n}}}}}}}$	Вложенные экспоненты (также башни)
${\displaystyle a_{1}^{a_{2}^{a_{3}^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}}$	Бесконечные экспоненты (также башни)

В первых двух выражениях ${\displaystyle a}$ есть основание, и количество появляющихся ${\displaystyle a}$ есть высота. В третьем выражении, ${\displaystyle n}$ есть высота, но все основания разные.

Обозначения

Системы записи, в которых тетрация может быть использована (некоторые из них позволяют использование даже более высоких итераций), включают в себя:

Имя	Форма	Описание
Стандартная форма записи	${\displaystyle {}^{n}a}$	Использована Мауером (Maurer) [1901] и Гудштейном [1947]; популяризовано в книге Руди Рюкера «Infinity and the Mind».
Стрелочная нотация Кнута	${\displaystyle a{\uparrow \uparrow }n}$	Позволяет удлинение путём добавления добавочных или индексированных стрелочек, является более мощным способом.
Цепочка Конвея	${\displaystyle a\to n\to 2}$	Позволяет удлинение путём прибавления 2 (эквивалентно вышеописанному способу), но также возможно даже более мощный способ записи, если увеличивать цепочку.
Функция Аккермана	${\displaystyle {}^{n}2=\mathrm {A} (4,\;n-3)+3}$	Допускает особый случай ${\displaystyle a=2}$ в записи в терминах функции Аккермана.
Итерируемая экспоненциальная форма записи	${\displaystyle {}^{n}a=\exp _{a}^{n}(1)}$	Позволяет простое удлинение до итерационных экспонент начиная со значений отличных от 1.
Обозначения Хусменд (англ. Hooshmand)[6]	${\displaystyle \mathrm {uxp} _{a}n,\quad a^{\frac {n}{}}}$
Система записи гипероператорами	${\displaystyle a^{(4)}n,\quad \mathrm {hyper} _{4}(a,\;n)}$	Позволяет удлинение путём прибавления 4; это даёт семейство гипероператоров.
Система записи ASCII	a^^n	Так как запись стрелочка наверх используется идентично обозначению корректурного знак вставки (^), оператор тетрация может быть записан в виде (^^).
Массивная нотация Бауэрса, Бауэрса/Бёрда[7]	{a, b,2}	{a, b, c} = a^^^…^^^b (c стрелок сверхстепени).

Одна из вышеприведённых систем использует систему записи итерированных экспонент; в общем случае это определяется следующим образом:

${\displaystyle \exp _{a}^{n}(x)=\underbrace {a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{a^{x}}}}}}} _{n}.}$

Не так много обозначений существует для итерированных экспонент, но несколько из них показаны ниже:

Имя	Форма	Описание
Стандартная форма записи	${\displaystyle \exp _{a}^{n}(x)}$	Система записи ${\displaystyle \exp _{a}(x)=a^{x}}$ и итерационная система записи ${\displaystyle f^{n}(x)}$ была введена Эйлером.
Стрелочная нотация Кнута	${\displaystyle (a{\uparrow })^{n}(x)}$	Позволяет для суперстепеней и суперэкспоненциальных функций увеличивать число стрелочек.
Гипер-Е нотация	E(a)x#n
Система записи Иоанна Галидакиса (англ. Ioannis Galidakis)	${\displaystyle {}^{n}(a,\;x)}$	Допускает использование больших выражений в основании.[8]
ASCII (добавочный)	a^^n@x	Основана на взгляде, что итерационная экспонента есть добавочная тетрация.
ASCII (стандартный)	exp_a^n(x)	Основана на стандартной форме записи.
Infinity barrier notation	${\displaystyle {}^{n}a|x}$	Джонатан Бауэрс придумал это [9], и это можно подставить к более высоким гипероперациям

Примеры

В нижеприведённой таблице большинство значений слишком огромны, чтобы их записать в экспоненциальном представлении, по этой причине используется система записи в виде итерационных экспонент, чтобы представить их с основанием 10. Значения, содержащие десятичную запятую, являются приблизительными. Например, четвёртая тетрация от 3 (то есть ${\displaystyle 3^{3^{3^{3}}}}$) начинается цифрами 1258, заканчивается цифрами 39387 и имеет 3638334640025 цифр, последовательность A241292 в OEIS.

${\displaystyle x}$	${\displaystyle {}^{2}x}$	${\displaystyle {}^{3}x}$	${\displaystyle {}^{4}x}$	${\displaystyle {}^{5}x}$
1	1	1	1	1
2	4	16	65 536	${\displaystyle \exp _{10}^{2}(4{,}29509)}$
3	27	7 625 597 484 987	${\displaystyle \exp _{10}^{3}(1{,}09902)}$	${\displaystyle \exp _{10}^{4}(1{,}09902)}$
4	256	${\displaystyle \exp _{10}^{2}(2{,}18788)}$	${\displaystyle \exp _{10}^{3}(2{,}18726)}$	${\displaystyle \exp _{10}^{4}(2{,}18726)}$
5	3125	${\displaystyle \exp _{10}^{2}(3{,}33931)}$	${\displaystyle \exp _{10}^{3}(3{,}33928)}$	${\displaystyle \exp _{10}^{4}(3{,}33928)}$
6	46 656	${\displaystyle \exp _{10}^{2}(4{,}55997)}$	${\displaystyle \exp _{10}^{3}(4{,}55997)}$	${\displaystyle \exp _{10}^{4}(4{,}55997)}$
7	823 543	${\displaystyle \exp _{10}^{2}(5{,}84259)}$	${\displaystyle \exp _{10}^{3}(5{,}84259)}$	${\displaystyle \exp _{10}^{4}(5{,}84259)}$
8	16 777 216	${\displaystyle \exp _{10}^{2}(7{,}18045)}$	${\displaystyle \exp _{10}^{3}(7{,}18045)}$	${\displaystyle \exp _{10}^{4}(7{,}18045)}$
9	387 420 489	${\displaystyle \exp _{10}^{2}(8{,}56784)}$	${\displaystyle \exp _{10}^{3}(8{,}56784)}$	${\displaystyle \exp _{10}^{4}(8{,}56784)}$
10	10 000 000 000	${\displaystyle \exp _{10}^{3}(1)}$	${\displaystyle \exp _{10}^{4}(1)}$	${\displaystyle \exp _{10}^{5}(1)}$

Примечание: Если ${\displaystyle x}$ не отличается от 10 по порядку величины, то для всех ${\displaystyle k\geq 3,~^{m}x=\exp _{10}^{k}z,~z>1~\Rightarrow ~^{m+1}x=\exp _{10}^{k+1}z'}$ с высокой точностью выполняется ${\displaystyle z'\approx z}$. Например, для основания ${\displaystyle x=3}$ при ${\displaystyle m=4}$ и ${\displaystyle k=3}$ получаем ${\displaystyle z-z'<1.5\cdot 10^{-15}}$, и разность становится значительно меньше для значений ${\displaystyle x>3}$.

Открытые проблемы

• Неизвестно, может ли ${\displaystyle {^{n}q}}$ быть рациональным числом, если ${\displaystyle n}$ — целое число, большее 3, а ${\displaystyle q}$ — рациональное, но не целое число (для ${\displaystyle n=2,\,3}$ ответ отрицателен)^[10].
• Ни для какого целого ${\displaystyle n>3}$ не известно, является ли положительный корень уравнения ${\displaystyle {^{n}x}=2}$ рациональным, алгебраическим иррациональным или трансцендентным числом.

Примечания

1. Goodstein R. L. Transfinite ordinals in recursive number theory (неопр.) // Journal of Symbolic Logic^[англ.]. — 1947. — Т. 12. — doi:10.2307/2266486.
2. Bromer N. Superexponentiation (англ.) // Mathematics Magazine : magazine. — 1987. — Vol. 60, no. 3. — P. 169—174. Архивировано 27 января 2017 года.
3. Nelson E. Predicative Arithmetic. — Princeton University Press, 1986.
4. MacDonnell J. F. Somecritical points of the hyperpower function ${\displaystyle \scriptstyle {x^{x^{\dots }}}}$ (англ.) // International Journal of Mathematical Education : journal. — 1989. — Vol. 20, no. 2. — P. 297—305.
5. Weisstein, Eric W. Power Tower (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
6. Hooshmand M. H. Ultra power and ultra exponential functions (неопр.) // Integral Transforms and Special Functions^[англ.]. — 2006. — Т. 17, № 8. — С. 549—558. — doi:10.1080/10652460500422247.
7. Источник  (неопр.). Дата обращения: 20 января 2013. Архивировано 21 октября 2014 года.
8. Galidakis I. On Extending hyper4 and Knuth’s Up-arrow Notation to the Reals Архивная копия от 25 мая 2006 на Wayback Machine.
9. cite web |title=Spaces |url=http://www.polytope.net/hedrondude/spaces.htm Архивная копия от 8 апреля 2024 на Wayback Machine |access-date=17 February 2022
10. Marshall, Ash J., and Tan, Yiren, «A rational number of the form a^a with a irrational», Mathematical Gazette 96, March 2012, pp. 106—109.  (неопр.) Дата обращения: 28 апреля 2013. Архивировано 6 мая 2014 года.

Ссылки

• Сайт про тетрацию Эндрю Робинса.
• Сайт про тетрацию Даниэля Гэйслера.
• Форум по обсуждению тетрации.
• Кузнецов Д. Тетрация как специальная функция // Владикавказский математический журнал. — 2010.