Мера иррациональности

Мера иррациональности действительного числа $\alpha$ — это действительное число $\mu$ , показывающее, насколько хорошо $\alpha$ может быть приближено рациональными числами.

Определение

Пусть $\alpha$ — действительное число, и пусть $M(\alpha )$ — множество всех чисел $\mu$ таких, что неравенство $0<\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{\mu }}}$ имеет лишь конечное число решений в целых числах $p$ и $q>0$ :

M(\alpha )=\left\{\mu >0\colon (\exists q_{0}=q_{0}(\mu ,\;\alpha ))\;(\forall p,\;q\in \mathbb {Z} )\;q>q_{0}\Rightarrow \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {1}{q^{\mu }}}\lor \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|=0\right\}.

Тогда мера иррациональности $\mu (\alpha )$ числа $\alpha$ определяется как точная нижняя грань $M(\alpha )$ :

\mu (\alpha )=\inf M(\alpha ).

Если $M(\alpha )=\varnothing$ , то полагают $\mu (\alpha )=+\infty$ .

Другими словами, $\mu$ — наименьшее число, такое, что для любого $\varepsilon >0$ для всех рациональных приближений ${\frac {p}{q}}$ с достаточно большим знаменателем верно, что $\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {1}{q^{\mu +\varepsilon }}}$ .

Возможные значения меры иррациональности

$\mu (\alpha )=1$ тогда и только тогда, когда $\alpha$ — рациональное число.
Если $\alpha$ — алгебраическое иррациональное число, то $\mu (\alpha )=2$ .
Если $\alpha$ — трансцендентное число, то $\mu (\alpha )\geqslant 2$ . В частности, если $\mu (\alpha )=+\infty$ , то число $\alpha$ называют лиувиллевым числом.

Связь с цепными дробями

Если $\alpha =[a_{0};\;a_{1},\;a_{2},\;\ldots ]$ — разложение числа $\alpha$ в цепную дробь, и ${\frac {p_{n}}{q_{n}}}$ — $n$ -ая подходящая цепная дробь, то

\mu (\alpha )=1+\limsup \limits _{n\to +\infty }{\frac {\ln q_{n+1}}{\ln q_{n}}}=2+\limsup \limits _{n\to +\infty }{\frac {\ln a_{n+1}}{\ln q_{n}}}.

С помощью этой формулы особенно легко найти меру иррациональности для квадратичных иррациональностей, поскольку разложения их в цепные дроби периодичны. Например, для золотого сечения $\varphi =[1;\;1,\;1,\;\ldots ]$ , и тогда $\mu (\varphi )=2$ .

Теорема Туэ — Зигеля — Рота

По лемме Дирихле, если $\alpha$ иррационально, то существует бесконечное количество таких p и q, что $\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{2}}}$ , то есть $\mu (\alpha )\geqslant 2$ . В 1844 году Лиувиллем была доказана теорема о том, что для любого алгебраического числа $\alpha$ степени $n$ можно подобрать константу $c=c(\alpha )$ такую, что $\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|\geqslant {\frac {c}{q^{n}}}$ . В 1908 году Туэ усилил эту оценку. Дальнейшие результаты в этом направлении получили Зигель, Дайсон, Гельфонд, Шнайдер. Наиболее точная оценка была доказана Ротом в 1955 году, полученную теорему называют теоремой Туэ — Зигеля — Рота^[англ.]^*. Она утверждает, что если $\alpha$ — алгебраическое иррациональное число, то $\mu (\alpha )=2$ . За это доказательство Рот получил Филдсовскую премию.